Thuật toán chính xác cho vấn đề ghi nhãn cạnh trong DAG

Tôi đang thực hiện một số phần hệ thống trong đó yêu cầu một số trợ giúp. Do đó, tôi đóng khung nó như là một vấn đề đồ thị để làm cho nó độc lập với miền.

Vấn đề: Chúng ta được đưa ra đồ thị chu kỳ có hướng . Không mất tính tổng quát giả định rằng có chính xác một đỉnh nguồn và chính xác một đỉnh chìm ; hãy biểu thị tập hợp của tất cả các đường dẫn hướng từ đến trong . Chúng tôi cũng đang cung cấp một tập các đỉnh . Vấn đề là gán trọng số nguyên không âm cho các cạnh của , do đó, bất kỳ hai đường dẫn nào trong đều có cùng trọng số khi và chỉ khi chúng chứa cùng một tập hợp con của các đỉnh trong $G=(V,E)$ $G$ $s$ $t$ $P$ $s$ $t$ $G$ $R \subseteq V$ $G$ $P$ $R$ . (Trọng số của một đường dẫn là tổng trọng số của các cạnh của nó.) Phạm vi trọng số của các đường dẫn trong phải càng nhỏ càng tốt. $P$

Hiện tại cách tiếp cận của tôi có vẻ không hiệu quả; Tôi chỉ tìm kiếm một số tài liệu tham khảo cho văn học hoặc một số hiểu biết tốt. Bất cứ điều gì khác cũng được đánh giá cao.

Chỉnh sửa: Có bằng chứng độ cứng cho vấn đề này? Liệu số nhỏ gọn luôn tồn tại?

— người dùng5153
nguồn

vui lòng làm rõ "Phạm vi trọng số của các đường dẫn trong P phải là tối ưu." Có trọng lượng chỉ số nguyên? Chúng ta có được phép có trọng lượng âm không? Liệu tối ưu có nghĩa là "phạm vi càng nhỏ càng tốt" hay nó có nghĩa gì khác?

— Artem Kaznatcheev

tôi đã chỉnh sửa câu hỏi cám ơn bạn đã góp ý. trọng số phải là số nguyên không âm và phạm vi nên càng nhỏ càng tốt.

— dùng5153

Một chiến lược đơn giản để đưa ra một giải pháp hợp lệ sẽ là gán một công suất khác nhau cho hai đỉnh v trong R, sử dụng số đó làm trọng số của tất cả các cạnh đến cho v và gán trọng số 0 cho tất cả các cạnh còn lại. Rõ ràng, điều này có thể không tối ưu, nhưng ít nhất nó mang lại giới hạn trên cho phạm vi cần thiết. Có bao giờ là một cải tiến để làm cho các cạnh khác nhau qua cùng một đỉnh trong R có các trọng số khác nhau hoặc bạn có thể đơn giản hóa vấn đề bằng cách làm cho các trọng số đi với các đỉnh thay vì các cạnh không?

— David Eppstein

Câu trả lời của BTW @ DavidEppstein cho thấy tổng trọng lượng tối đa của một đường dẫn là . Điều này là chặt chẽ với hằng số. Ví dụ: bạn có thể lấy biểu đồ , và . Hãy cũng . Có đường dẫn khác nhau trên và vì mỗi đường dẫn có trọng số nguyên không âm, nên ít nhất một đường dẫn phải có trọng số ít nhất là .

O (2^{| R |})

$O(2^{|R|})$

G = (V, E)

$G = (V, E)$

V = [n] \cup {s, t}

$V = [n] \cup \{s, t\}$

E = {(i, j) : i < j} \cup {(s, 1), (n, t), (s, t)}

$E = \{(i, j): i<j\} \cup \{(s, 1), (n, t), (s, t)\}$

R = [n]

$R = [n]$

2^{n}

$2^n$

R

$R$

2^{n} - 1

$2^n -1$

— Sasho Nikolov

chắc chắn, tôi có nghĩa là chặt chẽ trong trường hợp xấu nhất (tôi thực sự đã viết rằng trong phiên bản đầu tiên của nhận xét này đã bị mất). nghĩ rằng sẽ tốt khi lần đầu tiên xác định một số giới hạn tuyệt đối, vì chưa ai giải quyết được vấn đề tối ưu hóa.

— Sasho Nikolov

-6

chưa từng nghe về vấn đề này chính xác trong văn học [có thể có người khác] tuy nhiên với tư cách là "vấn đề gần đó", đối với tôi, cây bao trùm tối thiểu sẽ có các thuộc tính hữu ích để giải quyết vấn đề của bạn. ví dụ, có thể tạo hai cây bao trùm tối thiểu bắt đầu từ đỉnh nguồn & đỉnh đồng bộ hóa và truyền chúng ra ngoài cho đến khi chúng chạm vào, v.v. có thể giải quyết vấn đề hoặc đưa ra câu trả lời chặt chẽ. trước khi bất cứ ai nói với tôi về điều này, xin hãy hiểu rằng tôi đang mở rộng ý tưởng về MST được tạo ra bắt đầu từ một đỉnh nhất định [thông thường nó bắt đầu từ cạnh ngắn nhất trong toàn bộ biểu đồ]. Nếu nó không hoạt động Id hãy tò mò vì lý do.

— vzn
nguồn

Xin lỗi, nhưng tôi không thấy sự liên quan của câu trả lời này cho câu hỏi này.

— David Eppstein

có lẽ bạn có một ý tưởng tốt hơn những gì anh ấy đang nói về? nó có ý nghĩa với bạn như đã nêu?

— vzn

Anh ta cần phải gán trọng lượng cho các cạnh. Làm thế nào để tính toán một MST giúp điều đó?

— Nicholas Mancuso

ok khi đọc nó, và với bất kỳ ai khác đề xuất câu trả lời, có vẻ như vấn đề có thể được chuyển đổi thành hai phần-- (1) gán trọng số dựa trên tiêu chí / hạn chế, (2) tìm đường đi ngắn nhất dựa trên các trọng số đó. dường như MST có thể hữu ích trên (2). hoặc có thể không! (ví dụ: có thể 1/2 được liên kết chặt chẽ)

— vzn

Số cây bao trùm tối thiểu chỉ dành cho đồ thị vô hướng; đồ thị đầu vào được định hướng. Hơn nữa, cây bao trùm tối thiểu chỉ liên quan bề ngoài đến những con đường ngắn nhất.

— Jeffε