Thuật toán hiệu quả cho màu sắc cạnh tối ưu của siêu đồ thị

Vấn đề tô màu là, đã, đủ cứng cho hầu hết mọi người . Mặc dù vậy, tôi sẽ phải gặp khó khăn và hỏi một vấn đề về màu siêu âm.

Câu hỏi.

Những thuật toán hiệu quả nào đang có để tìm ra một màu cạnh tối ưu cho các siêu đồ đồng nhất k?

Chi tiết ---

• Một siêu đồ thị đồng nhất k là một trong đó mỗi cạnh chứa chính xác các đỉnh k; trường hợp thông thường của đồ thị đơn giản là k = 2. Chính xác hơn, tôi quan tâm đến các siêu dữ liệu đồng nhất k có nhãn , trong đó hai cạnh thực sự có thể có cùng một đỉnh được đặt; nhưng tôi sẽ giải quyết một cái gì đó trên siêu dữ liệu k-thường với các cạnh giao nhau tại không quá k 1 đỉnh.

• Màu sắc cạnh của siêu đồ thị là một trong đó các cạnh có cùng màu không giao nhau, như với trường hợp đồ thị. Chỉ số màu sắc χ '(H) là số lượng màu tối thiểu cần thiết, như thường lệ.

• Tôi muốn kết quả trên các thuật toán thời gian đa thức xác định hoặc ngẫu nhiên.

• Tôi đang tìm khoảng cách gần đúng nhất của yếu tố / phụ gia được biết đến giữa những gì có thể tìm thấy một cách hiệu quả và chỉ số màu sắc thực tế χ '(H) --- hoặc cho vấn đề đó, kết quả có thể đạt được một cách hiệu quả nhất về mặt tham số chẳng hạn như độ đỉnh cực đại (H), kích thước của siêu dữ liệu, v.v.

Chỉnh sửa: được nhắc nhở bởi những nhận xét của Suresh về các siêu dữ liệu kép bên dưới, tôi cần lưu ý rằng vấn đề này tương đương với vấn đề tìm màu sắc đỉnh của một siêu đồ thị k-thông thường : nghĩa là, mỗi đỉnh thuộc về k cạnh khác nhau [nhưng các cạnh bây giờ có thể chứa số lượng đỉnh khác nhau] và chúng tôi muốn tô màu đỉnh sao cho hai đỉnh liền kề có màu khác nhau. Cải cách này dường như cũng không có một giải pháp rõ ràng.

Nhận xét

Trong trường hợp đồ thị, Định lý của Vizing không chỉ đảm bảo rằng số sắc độ cạnh cho đồ thị G là Δ (G) hoặc (G) +1, bằng chứng chuẩn của nó cũng cung cấp thuật toán hiệu quả cho việc tìm (G ) + Tô màu 1 cạnh. Kết quả này sẽ đủ tốt cho tôi nếu tôi quan tâm đến trường hợp k = 2; tuy nhiên, tôi đặc biệt quan tâm đến k> 2 tùy ý.

Dường như không có bất kỳ kết quả nổi tiếng nào về các giới hạn về tô màu cạnh siêu âm, trừ khi bạn thêm các hạn chế như mọi cạnh giao nhau ở hầu hết các đỉnh t. Nhưng tôi không cần giới hạn về chính '(H); chỉ là một thuật toán sẽ tìm thấy một màu cạnh "đủ tốt". [Tôi cũng không muốn đặt bất kỳ hạn chế nào đối với siêu dữ liệu của mình, ngoại trừ đồng phục k và có lẽ giới hạn ở mức độ đỉnh tối đa, ví dụ: (H) f (k) đối với một số f ∈ ω (1) .]

[ Phụ lục. Bây giờ tôi đã hỏi một câu hỏi liên quan trên MathOverlow về các giới hạn về số màu, mang tính xây dựng hoặc cách khác.]

Câu trả lời dưới đây phá vỡ điều kiện của bạn rằng bạn không muốn các hạn chế nghiêm trọng được đặt trên siêu dữ liệu của mình, nhưng nó có thể được quan tâm nếu chỉ là công việc liên quan.

Siêu đồ thị của bạn (mà tôi sẽ đổi tên thành một không gian phạm vi) có một không gian phạm vi kép tương ứng (siêu đồ thị) bằng cách hoán đổi vai trò của các đỉnh và cạnh. Vấn đề của bạn sau đó lên tới việc tô màu các yếu tố của không gian phạm vi này sao cho phạm vi chính xác$r$$r$

Gần đây đã có một số nghiên cứu về các vấn đề "tô màu đầy màu sắc" như vậy cho các không gian phạm vi hình học, được thúc đẩy một phần bởi các vấn đề trong mạng cảm biến. Một câu hỏi tiêu chuẩn được hỏi là:

Cho tham số và không gian phạm vi S , xác định hàm c S ( k ) sao cho màu c S ( k ) của các phần tử của S đảm bảo rằng mỗi phạm vi r của S có min ( $k$$S$$c_S(k)$$c_S(k)$$r$$S$$\min(|r|, k)$

Do đó, $c_S(\Delta)$$\Delta$ là số lượng thẻ tối đa của một phạm vi).

Một câu hỏi liên quan là xác định , trong đó$c_\tilde{S}(k)$$\tilde{S}$

$S$$\Re^2$$c_S(k) \le 3k-2$

Một tài liệu tham khảo tốt cho nhóm công việc này là bài báo DCG của Aloupsis et al và các tài liệu tham khảo trong đó.