Mã sửa lỗi Boolean trên

Có bất kỳ cấu trúc đã biết nào về mã sửa lỗi tuyến tính (với các tham số hợp lý), sao cho khi đưa ra một vectơ Boolean , nó cũng trả về một vectơ Boolean whp? (mặc dù nó đã kết thúc ) $\mathsf{ECC}:\mathbb{F}_q^n \to \mathbb{F}_q^m$ $v\in \{0,1\}^n$ $\mathbb{F}_q$

(nghĩa là, , trong đó xác suất được đưa ra thống nhất chọn và nhỏ tùy ý) $\Pr[\mathsf{ECC}(v) \in \{0,1\}^m]>1-\epsilon$ $v\in \{0,1\}^n$ $\epsilon$

Nếu không, điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta thư giãn điều kiện thành Trong đó trả về tọa độ thứ của , nhỏ tùy ý và xác suất được đưa ra trên cả hai cách chọn thống nhất và thống nhất chọn tọa độ .

Pr [{E C C}_{i} (v) \in {0, 1}] > 1 - ϵ

$\Pr[\mathsf{ECC}_i(v) \in \{0,1\}]> 1-\epsilon$

{E C C}_{i}

$\mathsf{ECC}_i$

i

$i$

E C C

$\mathsf{ECC}$

ϵ

$\epsilon$

v \in {0, 1}^{n}

$v\in \{0,1\}^n$

i \in [m]

$i\in[m]$

co.combinatorics linear-algebra coding-theory

Vì tò mò, bạn có ứng dụng nào trong đầu không?

— Tsuyoshi Ito

Có, tôi thực sự có một vài ứng dụng cho mã sửa lỗi với thuộc tính đó. Tuy nhiên, tôi nghĩ không thể giải thích trong phạm vi bình luận. Bạn có thể liên hệ với tôi qua thư nếu bạn quan tâm.

Cảm ơn vi đa trả lơi. Nếu nó không phù hợp với một bình luận, có lẽ tôi không có thời gian để hiểu toàn bộ mọi thứ, vì vậy tôi sẽ để nó như vậy. Cảm ơn!

— Tsuyoshi Ito

Đúng. Ví dụ, mã Reed-Solomon chứa mã BCH, là mã tuyến tính nhị phân, dưới dạng mã phụ. Chúng được gọi là mã trường con.

— MCH
nguồn

Có phải điều đó có nghĩa là được cung cấp một mã (tuyến tính trong F_q) mã Reed-Solomon, xác suất mã sẽ trả về một từ mã nhị phân, được cung cấp đầu vào nhị phân, là 1? Bạn có thể vui lòng hướng dẫn tôi đến một số giấy / khảo sát mà tôi có thể đọc về khách sạn này chi tiết hơn không? Tôi hơi mới với lý thuyết mã hóa. Cảm ơn!

Tài liệu tham khảo tốt nhất để đọc về mã BCH nhị phân là sách văn bản cổ điển "Lý thuyết về mã sửa lỗi" của MacWilliams và Sloane và "Giới thiệu về lý thuyết mã hóa" của van Lint.

— MCH

@TomGur: Tôi không chắc chắn rằng mã BCH đáp ứng yêu cầu của bạn. Ở một mức độ nào đó, câu trả lời phụ thuộc vào mức độ nỗ lực tính toán mà bạn muốn bộ giải mã đưa vào tác vụ. Bộ giải mã "ngoài giá" là bộ giải mã khoảng cách giới hạn và chỉ sửa tối đa giới hạn giải mã duy nhất (<một nửa khoảng cách tối thiểu). Đối với mã BCH, một phần không đáng kể của không gian nhị phân nằm ngoài phạm vi và sẽ xảy ra lỗi bộ giải mã. Chỉ có một mã là không đủ trừ khi bạn chỉ định thuật toán giải mã (không phải tất cả các ECC đều có một mã được biết đến hiệu quả).

— Jyrki Lahtonen