Các hệ số Fourier độc lập tuyến tính

Một tài sản cơ bản của không gian véc tơ là một không gian vector của chiều có thể được đặc trưng bởi hạn chế tuyến tính tuyến tính độc lập - có nghĩa là, có tồn tại vector độc lập tuyến tính mà là trực giao với V .$V \subseteq \mathbb{F}_2^n$d d w 1 , ... , w d ∈ F n $n-d$$d$$d$$w_1, \ldots, w_d \in \mathbb{F}_2^n$$V$

Từ góc độ Fourier, điều này tương đương với việc nói rằng hàm chỉ thị của V có các hệ số Fourier không độc lập tuyến tính d . Lưu ý rằng 1 V có tổng số 2 d hệ số Fourier khác không, nhưng chỉ có d trong số chúng là độc lập tuyến tính.$1_V$$V$$d$ $1_V$$2^d$$d$

Tôi đang tìm kiếm một phiên bản gần đúng của đặc tính này của không gian vectơ. Cụ thể, tôi đang tìm kiếm một tuyên bố có dạng sau:

Hãy có kích cỡ 2 n - d . Sau đó, chức năng chỉ số 1 S có ít nhất d ⋅ log ( 1 / ε ) độc lập tuyến tính hệ số Fourier mà tuyệt đối giá trị ít nhất là ε .$S \subseteq \mathbb{F}_2^n$$2^{n-d}$$1_S$$d\cdot\log(1/\varepsilon)$ $\varepsilon$

Câu hỏi này có thể được xem từ góc độ "Cấu trúc so với ngẫu nhiên" - Theo trực giác, một tuyên bố như vậy nói rằng mọi tập hợp lớn có thể được phân tách thành một tổng của một không gian vectơ và một tập sai lệch nhỏ. Nó cũng được biết rằng tất cả các chức năng có thể được chia ra thành một "phần tuyến tính" trong đó có p o l y ( 1 / ε ) hệ số Fourier lớn, và một "phần giả ngẫu nhiên" mà có xu hướng nhỏ . Câu hỏi của tôi hỏi liệu phần tuyến tính chỉ có một số logarit của các hệ số Fourier độc lập tuyến tính .$f:\mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2$$\mathrm{poly}(1/\varepsilon)$

Đây không phải là một ví dụ ngược lại?

Hãy để là đa số x 1 , ... , x 1 / ε 2 , đó là dấu hiệu của một tập hợp các kích thước 2 n / 2 , do đó d = 1 . Tuy nhiên, f ( { i } ) = Θ ( ε ) cho 1 ≤ i ≤ 1 / ε 2 , vì vậy bạn có 1 / ε $f(x)$$x_1, \ldots, x_{1/\epsilon^2}$$2^n/2$$d = 1$$\hat{f}(\{i\}) = \Theta(\epsilon)$$1 \le i \le 1/\epsilon^2$$1/\epsilon^2$ hệ số Fourier lớn độc lập tuyến tính.

Có lẽ bạn muốn những gì đôi khi được gọi là "Bổ đề của Chang" hoặc "Bổ đề của Talagrand" ... được gọi là "Bất đẳng thức cấp 1" tại đây: http://analysisofbooleanfifts.org/?p=885

Điều đó ngụ ý rằng nếu có nghĩa là 2 - d sau đó số lượng các hệ số Fourier tuyến tính độc lập mà vuông là ít nhất γ 2 - d là tại hầu hết các O ( d / γ 2 ) . (Điều này là do chuyển đổi tuyến tính F 2 trên đầu vào không thay đổi giá trị trung bình, do đó bạn luôn có thể di chuyển các ký tự Fourier độc lập tuyến tính sang độ 1.)$1_S$$2^{-d}$$\gamma 2^{-d}$$O(d/\gamma^2)$$F_2$