Độ phức tạp của đồ thị

Giả sử là một đồ thị với màu số . Hãy xem xét trò chơi sau đây giữa Alice và Bob. Ở mỗi vòng, Alice chọn một đỉnh và Bob trả lời bằng một màu trong cho đỉnh này. Trò chơi kết thúc khi một cạnh đơn sắc được phát hiện. Đặt là độ dài tối đa của trò chơi theo cách chơi tối ưu của cả hai người chơi (Alice muốn rút ngắn trò chơi càng tốt, Bob muốn trì hoãn nó càng tốt). Ví dụ: $G$ $d = \chi(G)$ $\{1,\ldots,d-1\}$ $X(G)$ $X(K_n) = n$ và . $X(C_{2n+1}) = \Theta(\log n)$

Trò chơi này có được biết không?

— Yuval Filmus
nguồn

Tôi nghĩ rằng bạn có thể mô hình hóa nó như là một trò chơi Ehrenfeucht, Fra Frassssé .

— Tyson Williams

nó dường như có liên quan cao đến các thuật toán tô màu đồ thị tham lam, phải không? trong đó có rất nhiều .... tương tự như các vấn đề SAT trong đó một trong các biến bị "ép buộc" sau một số giao dịch DPLL ... mà tôi tin rằng nó còn được gọi là "xương sống" trong SAT

— vzn

Tại sao bạn sử dụng d 1? Tôi nghĩ rằng việc tham số hóa trò chơi theo cả biểu đồ G và số k màu cho phép và xem xét đại lượng tương tự X (G, k) sẽ tự nhiên hơn. Tất nhiên, nếu k≥χ (G), thì Bob thắng, và do đó, trong trường hợp này, X (G, k) nên được định nghĩa là hoặc n + 1.

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi:

là một lựa chọn tùy ý được thiết kế để tối đa hóa

. Trong ứng dụng tôi có trong tâm trí,

không có ý nghĩa.

k = d - 1

$k = d-1$

X (G)

$X(G)$

k \geq χ (G)

$k \geq \chi(G)$

— Yuval Filmus

@Tyson: Trong thực tế,

là sự phức tạp cây quyết định của trò chơi, trong đó, đưa ra một

màu của

, chúng tôi muốn tìm một lợi thế cạnh vi phạm.

X (G)

$X(G)$

d - 1

$d-1$

G

$G$

— Yuval Filmus

Nó trông khá giống với

Tô màu các biểu đồ ngẫu nhiên trực tuyến mà không tạo ra các sơ đồ đơn sắc (Reto Spöhel, Torsten Mütze và Thomas Rast) Các thủ tục của Hội nghị chuyên đề ACM-SIAM hàng năm lần thứ 22 về Thuật toán rời rạc (SODA '11), PR 137, 145-158.

— adrianN
nguồn