Đồ thị nhỏ có khoảng cách giữa số sắc độ và vectơ?

Tôi đang tìm một đồ thị nhỏ $G$ có số màu vectơ nhỏ hơn số màu, .$\chi_v(G)<\chi(G)$

( có vector số màu nếu có chuyển nhượng , nơi trực giác các vectơ kết hợp với đỉnh láng giềng xa nhau. Yêu cầu là . Ví dụ: với , các đỉnh của một tam giác đủ.)$G$$q$$x\colon V \rightarrow \mathbf R^d$$\langle x(v), x(w)\rangle \leq -1/(q-1)$$q=3$

Số màu vectơ của đồ thị không lớn hơn số màu: . Ví dụ được biết đến với các biểu đồ với . (Các giấy ban đầu bằng cách Karger, Motwani, Sudan [JACM, 45: 246-265] ( bản thảo ) đề nghị tổng quát đồ thị Kneser, một bài báo gần đây sử dụng một cấu trúc dựa trên vectơ đơn vị ngẫu nhiên.)$\chi_v(G)\leq \chi(G)$$\chi_v(G)=3$ $\chi(G)=n^\delta$

Tôi nghĩ rằng tôi có một biểu đồ ví dụ với và (dựa trên tính toán của máy tính). Biểu đồ này có 20 đỉnh và 90 cạnh.χ v ( K ) = 4 χ ( K ) = $K$$\chi_v(K)=4$$\chi(K)=8$

Có một ví dụ nhỏ hơn? Một con đường hấp dẫn sẽ là cung cấp một vectơ 3 màu cụ thể của đồ thị Chvirth hoặc Grötzsch, nếu một con thú như vậy tồn tại.

( $\chi_v$ không cần phải là số nguyên, nhưng nó sẽ rất hay. Cập nhật: Như được chỉ ra dưới đây, trường hợp không phân tích thực sự dễ dàng. Cảm ơn.)

Cập nhật: Grötzsch và Chvátal

Tôi không thể cưỡng lại suy nghĩ về vector 3 - tô màu cho đồ thị Chvátal và Grötzsch.

Biểu đồ Grötsch có thể là vectơ 3 màu như sau: Đặt nút năm độ trên cực Bắc. Các nút 5 độ 4 được đặt đồng đều trên cùng một vĩ độ, khoảng 77 độ so với Bắc: hãy tưởng tượng một hình ngũ giác được vẽ trên bán cầu bắc của Trái đất. 5 nút còn lại (độ 3) kết thúc ở Nam bán cầu, khoảng 135 độ từ Bắc. Có kinh độ giống như 5 người khác. (Tôi sẽ tải lên một bản vẽ khi tôi có một bản vẽ, nhưng việc vẽ các đường trắc địa trong TikZ khó hơn tôi nghĩ.)

Theo một người giải SDP, Chvátal cũng thừa nhận một vectơ 3 màu, nhưng đầu ra chỉ là một loạt các vectơ trong 5 chiều mà tôi gặp khó khăn khi diễn giải.

.

Tôi làm cho nhận xét của tôi một câu trả lời. Nếu chúng ta không đòi hỏi rằng là một số nguyên sau đó ví dụ nhỏ nhất là G = C 5 (một chu kỳ trên 5 đỉnh): χ v ( C 5 ) = $\chi_v(G)$$G=C_5$

$$\chi_v(C_5) = \sqrt{5} < 3 = \chi(C_5) . \qquad\text{[Lovász]}$$

Không khó để chuyển đổi ví dụ này thành một ví dụ trong đó là số nguyên. Hãy G 1 là một sự kết hợp của hai 5 chu kỳ C ( 1 ) 5 và C ( 2 ) 5 trong đó mỗi đỉnh từ C ( 1 ) 5 được kết nối với tất cả các đỉnh trong C ( 2 ) 5 . Đặt G 2 = K 5 . Cuối cùng, hãy để G là liên kết của G 1 và $\chi_v(G)$$G_1$$C_5^{(1)}$$C_5^{(2)}$$C_5^{(1)}$$C_5^{(2)}$$G_2=K_5$$G$$G_1$ . Rồi χ ( G $G_2$

$$\begin{align*} \chi(G) &= \max(\chi(G_1), \chi(G_2)) = \chi(G_1) = 6.\\ \chi_v(G) &= \max(\chi_v(G_1), \chi_v(G_2)) = \max(2\cdot \sqrt{5}, 5) = 5. \end{align*}$$

Ở đây nó nhúng đồ thị Grötzsch trên quả cầu đơn vị: Điều này tương ứng với một màu vector theo cách rõ ràng; ví dụ: đỉnh ở cực Bắc được tô màu bằng vectơ (0,0,1).

Biểu đồ Grötsch có 3 loại nút. Một nút độ 5 duy nhất (tại Bắc). Năm nút 4 độ (trên bán cầu Bắc, tương đương với N, bạn có thể tạo ra 3 trong số chúng). Năm nút 3 độ (trên bán cầu Nam, tương đương với N, bạn có thể tạo ra 3 trong số chúng).

N được kết nối với 5 nước láng giềng ở Nam bán cầu với các cạnh màu xanh lá cây. (Lưu ý rằng cạnh màu xanh lá cây trông như thể đó là sự cố trên các đỉnh 4 độ ở bán cầu Bắc, nhưng đó là một vật phẩm của sự nhúng.)

$C_5$

Cuối cùng, một cái nhìn từ phía trên cực Nam:

Nếu tính toán của tôi được tin tưởng, tất cả các đỉnh lân cận nằm cách nhau hơn 120 độ, do đó, điều này tạo thành một vectơ 3 màu hợp lệ. Biểu đồ Grötzsch có 4 màu. 11 đỉnh, 20 cạnh. Tôi đặc biệt hài lòng về ví dụ này vì màu vector có 3 chiều, để bạn có thể hình dung nó. (Và vẽ các siêu phẳng ngẫu nhiên để giải thích thuật toán tô màu đồ thị KMS.)