Các vấn đề NP-hard được định hướng trên DAGs

Chiều rộng của cây đo mức độ gần của đồ thị với cây. Một số vấn đề NP-hard có thể dễ dàng xử lý trên biểu đồ với chiều rộng của cây. Nếu một vấn đề vẫn còn NP-cứng trên cây thì chiều rộng cây không thể cứu chúng ta. Đây là động lực đằng sau một trong những câu hỏi trước đây của tôi về vấn đề NP-hard trên cây.

Có một số phiên bản có hướng của chiều rộng cây đo mức độ gần của đồ thị có hướng với đồ thị theo chu kỳ có hướng (DAG). Một số vấn đề được định hướng vẫn còn NP-hard trên DAG là gì? Một vấn đề định hướng làm cho việc sử dụng thiết yếu của các hướng của các cạnh. Ví dụ, đường hamiltonian là một vấn đề có định hướng trong khi đỉnh đỉnh thì không. Một trong những câu trả lời cho câu hỏi trước đây của tôi đã đưa ra một công thức chung để tạo ra các vấn đề khó đối với cây. Có một công thức cho DAGs?

Điều này chỉ nhằm mục đích trả lời một phần câu hỏi đầu tiên của bài viết:

Một số vấn đề được định hướng vẫn còn NP-hard trên DAG là gì?

Trong [1], một vài vấn đề tự nhiên trên đồ thị có hướng được đưa ra vẫn là NP-hard trên DAG. Động lực của bài báo là tìm ra một biện pháp giống như treewidth cho các máy in. Họ cho rằng nhược điểm của nhiều biện pháp đối với máy in là chúng không đổi đối với DAG, nhưng nhiều đối tác trực tiếp của các vấn đề tự nhiên vẫn là NP-hard đối với DAG. Để biết thêm về chủ đề này, xem thêm [2] và các tài liệu tham khảo của các bài viết này.

[1] Robert Ganian, Petr Hlinený, Joachim Kneis, Alexander Langer, Jan Obdrzálek, Peter Rossmanith: Về các phép đo độ rộng Digraph trong thuật toán tham số hóa. IWPEC 2009: 185-197. Phiên bản đầy đủ

[2] Robert Ganian, Petr Hlinený, Joachim Kneis, Daniel Meister, Jan Obdrzálek, Peter Rossmanith, Somnath Sikdar: Có biện pháp đo chiều rộng nào tốt không? IPEC 2010, sẽ xuất hiện. arXiv

Một số vấn đề định tuyến được biết là NP-hard và thậm chí khó gần với các yếu tố đa thức trong DAG. Chúng bao gồm các vấn đề như đường dẫn tách rời tối đa và tối thiểu hóa tắc nghẽn. Xem các bài báo của Andrew, Chuzhoy, Khanna, Zhang và những người khác để biết thêm gợi ý.

$\varphi:=\exists C_1 C_2 C_3 [\forall x (C_1 x \lor C_2 x \lor C_3 x) \land \bigwedge_{i=1,2,3}\forall x,y(\neg C_i x \lor \neg C_i y\lor \neg E(x,y))]$$G$$G'$$E(x,y)$$\varphi$$E(x,y)\lor E(y,x)$$G\models\varphi\iff G'\models\varphi'$

Vấn đề nổi tiếng OPEN [8] từ danh sách của Garey và Johnson nằm ngoài P, nhưng mở ra để được chứng minh là NP-C. Vấn đề đó là trên DAG. Mỗi vòng bạn có thể xóa tối đa ba đỉnh không có cạnh đến. Quyết định xem tất cả các đỉnh của DAG có thể bị xóa trong vòng K không? MỞ từ những năm 1970.