Đại diện OR với đa thức

23

Tôi biết rằng trivially OR chức năng trên $n$ biến $x_1,\ldots, x_n$ có thể được biểu diễn chính xác bởi các đa thức $p(x_1,\ldots,x_n)$ như vậy: $p(x_1,\ldots,x_n) = 1-\prod_{i = 1}^n\left(1-x_i\right)$ , có độ $n$ .

Nhưng làm thế nào tôi có thể chỉ ra, điều có vẻ hiển nhiên, nếu $p$ là một đa thức thể hiện chính xác hàm OR (vì vậy $\forall x \in \{0,1\}^n : p(x) = \bigvee_{i = 1}^n x_i$ ), sau đó $\deg(p) \ge n$ ?

— con trăn
nguồn

1

Bạn đang nói về đa thức thực sự? Hoặc đa thức modulo 2? Nếu bạn muốn nói về modulo 6 (hoặc các số tổng hợp khác), thì câu hỏi trở nên thú vị hơn.

— Igor Shinkar

30

Đặt là hàm boolean. Nếu nó có biểu diễn đa thức thì nó có biểu diễn đa thức đa tuyến độ : chỉ cần thay thế bất kỳ lũy thừa , trong đó , bằng . Vì vậy, chúng ta có thể hạn chế sự chú ý của chúng ta đến đa thức đa tuyến. $f\colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $P$ $Q$ $\deg Q \leq \deg P$ $x_i^k$ $k \geq 2$ $x_i$

Khẳng định: Các đa thức , như các chức năng tạo thành một cơ sở cho không gian của tất cả các chức năng . $\{ \prod_{i \in S} x_i : S \subseteq [n] \}$ $\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$ $\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$

Chứng minh: Trước tiên chúng tôi chỉ ra rằng các đa thức là độc lập tuyến tính. Giả sử rằng cho tất cả . Chúng tôi chứng minh bằng (mạnh) cảm ứng trên mà . Giả sử cho tất cả $f = \sum_S c_S \prod_{i \in S} x_i = 0$ $(x_1,\ldots,x_n) \in \{0,1\}^n$ $|S|$ $c_S = 0$ $c_T = 0$ , và chúng ta hãy được cung cấp một bộ của cardinality . Đối với tất cả chúng tôi biết bằng cảm ứng mà , và do đó , nơi là đầu vào đó là trên tọa độ của . $|T| < k$ $S$ $k$ $T \subset S$ $c_T = 0$ $0 = f(1_S) = c_S$ $1_S$ $1$ $S$ $~\qquad\square$

Các chương trình tuyên bố rằng các đại diện đa tuyến của một hàm là duy nhất (trên thực tế, thậm chí không phải là -valued). Đại diện đa tuyến duy nhất của OR là , có độ . $f\colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $f$ $0/1$ $1-\prod_i(1-x_i)$ $n$

— Yuval Filmus
nguồn

26

Đặt là một đa thức sao cho với mọi , . Xét phép đối xứng của đa thức : $p$ $x\in \{0,1\}^n$ $p(x) = \sf{OR}(x)$ $p$ Lưu ý rằng, vì hàm OR là hàm boolean đối xứng, nên chúng ta có hàm,và. Vìlà một đa thức khác không và nó có ít nhất0, nên nó phải có ít nhất. Vì thế,

q (k) = \frac{1}{(\binom{n}{k})} \sum_{x : | x | = k} p (x) .

$q(k) = \frac{1}{\binom{n}{k}} \sum_{x: |x| = k} p(x).$

k = 1, 2, \dots, n

$k = 1, 2, \ldots, n$

q (k) = 1

$q(k) = 1$

q (0) = 0

$q(0) = 0$

q - 1

$q-1$

n

$n$

n

$n$

cũng phải có độ

.

p

$p$

n

$n$

Đối xứng thường được sử dụng trong nghiên cứu về mức độ gần đúng của các hàm boolean và độ phức tạp truy vấn lượng tử. Xem, ví dụ: http://www.math.uwaterloo.ca/~amchilds/teaching/w11/l19.pdf .

— Henry Yuen
nguồn

Dường như với tôi rằng để bằng chứng của bạn hoạt động, bạn cần chứng minh rằng mức độ của q nhiều nhất là mức độ p. Điều này không rõ ràng với tôi. Làm thế nào để bạn thể hiện điều này?

— matthon

Đặt d = deg (p). Khi đó q là tổng của đa thức độ d, do đó mức độ của q nhiều nhất là d.

— Henry Yuen

3

Yuval và Henry đã đưa ra hai bằng chứng khác nhau về sự thật này. Đây là một bằng chứng thứ ba.

Đầu tiên, như trong câu trả lời của Yuval, chúng tôi hạn chế sự chú ý của chúng tôi vào đa thức đa tuyến. Bây giờ bạn đã thể hiện một đa thức bậc hai bậc bằng với hàm OR. Bây giờ tất cả những gì chúng ta cần chỉ ra là đa thức này là duy nhất và do đó bạn đã tìm thấy đại diện duy nhất và duy nhất của hàm OR là một đa thức. Do đó, mức độ của nó là . $n$ $n$

Yêu cầu: Nếu hai đa thức p và q bằng nhau trên hypercube, thì chúng bằng nhau ở mọi nơi.

Chứng minh: Đặt r (x) = p (x) - q (x) và chúng ta biết rằng r (x) = 0 với mọi x trong . Chúng tôi muốn chỉ ra rằng r (x) bằng không. Hướng tới một mâu thuẫn, giả sử là không, và chọn bất kỳ đơn thức nào trong r với hệ số khác không có mức độ tối thiểu. Đặt tất cả các biến bên ngoài đơn thức này thành 0 và tất cả các biến trong đơn thức này là 1. r (x) là khác không trên đầu vào này, nhưng đầu vào này là Boolean, đó là một mâu thuẫn. $\{0,1\}^n$

— Robin Kothari
nguồn