Có bao nhiêu màu riêng biệt là cần thiết để giới hạn thấp hơn khả năng lựa chọn của đồ thị?

Biểu đồ là -choosable (còn được gọi là -list-colorable ) nếu, đối với mọi hàm ánh xạ các đỉnh thành tập hợp các màu , có một phép gán màu sao cho tất cả các đỉnh , và sao cho tất cả các cạnh , .k f k c v c ( v ) ∈ f ( v ) v w c ( v ) ≠ c ( w $k$$k$$f$$k$$c$$v$$c(v)\in f(v)$$vw$$c(v)\ne c(w)$

Bây giờ giả sử rằng đồ thị không thể -choosable. Đó là, tồn tại một hàm từ các đỉnh đến -tuples các màu không có sự gán màu hợp lệ . Những gì tôi muốn biết là, cần bao nhiêu màu trong tổng số? Làm thế nào nhỏ lon được? Có một số (độc lập với ) sao cho chúng ta có thể được đảm bảo tìm thấy một không thể thay đổi chỉ sử dụng màu sắc riêng biệt ?k f k c ∪ v ∈ G f ( v ) N ( k ) G f N ( k $G$$k$$f$$k$$c$$\cup_{v\in G}f(v)$$N(k)$$G$$f$$N(k)$

Sự liên quan đến CS là, nếu tồn tại, chúng ta có thể kiểm tra tính khả dụng của đối với hằng số trong thời gian theo cấp số nhân (chỉ cần thử tất cả lựa chọn của và cho mỗi người kiểm tra xem nó có thể được tô màu theo thời gian ) trong khi nếu không thì có thể cần một thứ gì đó phát triển nhanh hơn như .k k ( N ( k $N(k)$$k$$k$$\binom{N(k)}{k}^n$k n n O ( 1 ) n k $f$$k^n n^{O(1)}$$n^{kn}$

Daniel Král và Jiří Sgall đã trả lời câu hỏi của bạn cho tiêu cực. Từ bản tóm tắt của bài báo của họ:

Một đồ thị được gọi là -chuyển đổi nếu các đỉnh của nó có thể được tô màu từ bất kỳ danh sách với , với tất cả và với . Với mỗi , chúng tôi xây dựng một biểu đồ có thể có thể thay thế được nhưng không .( k , ℓ ) L ( v ) | L ( v ) | ≥ k v ∈ V ( G ) | ⋃ v ∈ V ( G ) L ( v ) | ≤ ℓ 3 ≤ k ≤ ℓ G ( k , ℓ ) ( k , ℓ + 1 $G$$(k,\ell)$$L(v)$$|L(v)| \ge k$$v\in V(G)$$|\bigcup_{v\in V(G)} L(v)| \le \ell$$3 \le k \le \ell$$G$$(k,\ell)$$(k,\ell+1)$

Vì vậy, không tồn tại nếu . Král và Sgall cũng chỉ ra rằng . Tất nhiên, .k ≥ 3 N ( 2 ) = 4 N ( 1 ) = $N(k)$$k\ge 3$$N(2)=4$$N(1)=1$

Daniel Král, Jiří Sgall: Tô màu đồ thị từ các danh sách với kích thước giới hạn của liên minh của họ . Tạp chí lý thuyết đồ thị 49 (3): 177-186 (2005)

Như một chút tự quảng cáo không hổ thẹn, Marthe Bonamy và tôi tìm thấy nhiều câu trả lời tiêu cực hơn. Cụ thể, Định lý 4 của http://arxiv.org/abs/1507.03495 cải thiện kết quả đã nói ở trên của Král 'và Sgall trong một số trường hợp nhất định. Các ví dụ chúng tôi sử dụng là các biểu đồ lưỡng cực hoàn chỉnh, trong đó chúng tôi đã sử dụng một số tổ hợp cực trị để phân tích chúng.

Công việc được thúc đẩy một phần bởi câu hỏi tràn TCS này.