Một sự bất đối xứng tò mò trong đặc tính tốt

Có khá nhiều định lý, chủ yếu là trong lý thuyết đồ thị và tối ưu hóa tổ hợp, thường được gọi là đặc tính tốt. Họ thường đặt một tài sản trong , bằng cách hiển thị rằng một tài sản hoặc giữ hoặc nếu không có một trở ngại nào đó được xác định rõ ngăn cản việc giữ nó. Thông thường chúng được trình bày dưới dạng các định lý tối thiểu, xem các câu hỏi trước đó Tối ưu hóa các vấn đề với đặc tính tốt, nhưng không có thuật toán thời gian đa thức $NP\cap co-NP$

Đây là hai ví dụ cổ điển về đặc tính tốt:

Một đồ thị lưỡng cực có khớp với kích thước hoặc nếu không có các đỉnh nhỏ hơn tất cả các cạnh. Sự tồn tại của một vỏ bọc như vậy là một trở ngại tầm thường mà không bao gồm sự phù hợp. Nếu chướng ngại vật này không có, sự phù hợp phải tồn tại, đây là phần không cần thiết, được gọi là Định lý Konig. $k$ $k$
Hoặc là có một chảy giá trị trong một đồ thị dòng chảy, nếu không có một cắt với công suất nhỏ hơn . Một lần nữa, sự tồn tại của một vết cắt như vậy là một trở ngại không đáng kể, kể từ đó dòng chảy không thể vượt qua. Phần không quan trọng là sự vắng mặt của chướng ngại vật đã đảm bảo sự tồn tại của dòng giá trị , tương đương với Định lý Max Flow Min Cut. $s-t$ $F$ $s-t$ $F$ $F$

Điều tôi tìm thấy một tính năng gây tò mò trong các kết quả này (và nhiều kết quả khác) là chúng cho thấy sự bất đối xứng rõ ràng trong độ cứng bằng chứng giữa hai hướng tương đương. Thông thường, thật dễ dàng, hoặc thậm chí là tầm thường, để chứng minh rằng chướng ngại vật loại trừ tài sản được xem xét. Mặt khác, khó khăn hơn nhiều để chứng minh rằng trở ngại dễ dàng / tầm thường là trở ngại duy nhất , theo nghĩa là một khi nó không ở đó, tài sản phải giữ.

Tôi không biết một lời giải thích tốt tại sao loại bất đối xứng này là phổ biến như vậy. Nó không xuất hiện một tiên nghiệm cần thiết. Lưu ý: không bị nhầm lẫn bởi thực tế là các ví dụ trên là cả hai trường hợp đặc biệt của tính đối ngẫu lập trình tuyến tính. Có những ví dụ khác không liên quan gì đến lập trình tuyến tính.

Câu hỏi: Bạn có biết bất kỳ đặc tính tốt nào không thuộc loại này không? (Phải thừa nhận rằng, đó là mơ hồ được xác định, nhưng có lẽ ý tưởng đột phá vòng vây.) Nói cách khác, tôi đang tìm kiếm một định lý mà đặt một tài sản trong , bằng cách bắt tất cả những trở ngại có thể xảy ra tài sản, nhưng họ không phải tất cả những trở ngại dễ dàng / tầm thường. $NP\cap co-NP$

cc.complexity-theory graph-theory co.combinatorics

— Andras Farago
nguồn

Tôi muốn xem những ví dụ không phải là trường hợp đặc biệt của tính đối ngẫu? Bởi vì với các ví dụ của bạn, các hướng dễ dàng là tính đối ngẫu yếu, điều này luôn không quan trọng để chứng minh, và các hướng cứng là tính đối ngẫu mạnh mẽ, đó là một thực tế sâu sắc hơn.

— Sasho Nikolov

Điều gì sẽ là một ví dụ về một trở ngại "không tầm thường"?

— András Salamon

Dưới đây là một ví dụ về một trở ngại không nhỏ đối với một tài sản: một đồ thị không thể có màu số

nếu nó không chứa một

đồ thị con -constructible, xem việc xây dựng Hajos [ en.wikipedia.org/wiki/Hajós_construction] . Mặc dù số lượng màu không có trong

(trừ khi

), nó vẫn cho thấy một ví dụ về những gì một chướng ngại vật không tầm thường có thể được. Tôi cũng sẽ đăng các ví dụ không phải là trường hợp đặc biệt của tính đối ngẫu LP, nhưng chúng không phù hợp với một nhận xét.

\geq k

$\geq k$

k

$k$

N P \cap c o - N P

$NP\cap co-NP$

N P = c o - N P

$NP=co-NP$

— Andras Farago

Tôi nghĩ rằng đây cũng có thể là hậu quả của việc chứng minh được thực hiện bởi mọi người. Chúng tôi tìm thấy một bất đẳng thức (dễ dàng) hoặc hàm ý, và hỏi liệu hướng khác (hoặc bất bình đẳng) là đúng. Đối với tất cả những gì chúng ta biết có thể có rất nhiều hàm ý khó cả hai cách, nhưng chúng ta không thể tìm thấy chúng :)

— daniello

(Điều này là để trả lời bình luận của Sasho Nikolov, nhưng nó quá dài cho lĩnh vực bình luận, vì vậy tôi đăng nó như một câu trả lời.)

Hai ví dụ trong câu hỏi ban đầu là các trường hợp đặc biệt của tính đối ngẫu LP. Có nhiều ví dụ tương tự, nhưng người ta có thể lập luận rằng tất cả chúng đều thừa hưởng tính không đối xứng từ tính đối ngẫu LP. Nhị phân LP yếu dễ chứng minh (nó cung cấp "chướng ngại vật tầm thường"), trong khi tính đối ngẫu mạnh mẽ sâu hơn, chứng tỏ rằng trở ngại tầm thường là trở ngại duy nhất. Theo nghĩa này, các ví dụ là "con của LP" có thể được xem rằng chúng chỉ là các hóa thân khác nhau của cùng một ví dụ cốt lõi.

Tuy nhiên, đây là một số trường hợp khác (theo hiểu biết của tôi) không liên quan đến LP. Các ví dụ dưới đây là tất cả từ lý thuyết đồ thị, nhưng các lĩnh vực khác có thể cũng chứa các mẫu tương tự.

Gọi là các số nguyên dương. Sau đó, có một biểu đồ đơn giản với kết nối đỉnh , kết nối cạnh và mức tối thiểu , khi và chỉ khi $k, l, d$ $k$ $l$ $d$ $k\leq l \leq d$ . Vì nó (gần như) tầm thường để chứng minh rằng các tham số này luôn thỏa mãn bất đẳng thức, nên việc vi phạm ít nhất một bất đẳng thức là một trở ngại không đáng kể cho một biểu đồ như vậy tồn tại. Các hướng khác, rằng một biểu đồ như vậy luôn tồn tại là không cần thiết. . trích xuất từ nó, để cho thấy bản chất thiết yếu mà ở đây một lần nữa trở ngại tầm thường là trở ngại duy nhất.)
$\geq 3$ $K_5$ $K_{3,n-3}$
$d_1\geq\ldots\geq d_n$ $k\geq 2$ $k$ $d_1\geq\ldots\geq d_n$ $d_n\geq k$ , điều này cũng rất cần thiết, vì kết nối cạnh được giới hạn từ phía trên bởi mức độ tối thiểu. Một khi các điều kiện cần thiết cơ bản này được thỏa mãn, biểu đồ mong muốn luôn tồn tại.
$G$ $H$ $G$ $H$ $G$ $|E(H)|$ $|E(G)|$ $g$ $H$ $g$ $|V(G)|-1$

— Andras Farago
nguồn