Phương pháp đa thức cho kết quả phức tạp

Các phương pháp đa thức , cho biết Định lý cảnh báo Combinatorial Nullstellensatz và Chevalley là những công cụ mạnh mẽ trong tổ hợp phụ gia. Bằng cách biểu diễn một vấn đề với đa thức thích hợp, họ có thể đảm bảo sự tồn tại của một giải pháp, hoặc số lượng giải pháp cho đa thức. Chúng đã được sử dụng để giải quyết các vấn đề như các khoản tiền bị hạn chế hoặc các vấn đề tổng bằng không , và một số định lý trong lĩnh vực này chỉ có thể được chứng minh bằng các phương pháp như vậy.

Đối với tôi, cách thức không mang tính xây dựng của các phương thức này thực sự đáng kinh ngạc, và tôi tò mò về cách chúng ta có thể áp dụng các phương thức này để chứng minh bất kỳ sự bao gồm và tách biệt thú vị nào của các lớp phức tạp (ngay cả khi kết quả có thể được giải quyết bằng các phương pháp khác).

Có bất kỳ kết quả phức tạp nào được biết rằng người ta có thể chứng minh chúng bằng các phương pháp đa thức không?

Một số ví dụ kinh điển về việc sử dụng phương pháp đa thức là:

• $AC^0$
• Bằng chứng "PP được đóng dưới ngã tư" của Beigel-Reingold-Spielman
• $AC^0$

Ngoài ra, phân tích phạm vi các hàm boolean ( đây là một khóa học tuyệt vời của Ryan O'Donnell ) có một bộ sưu tập kết quả tuyệt vời, yêu thích của tôi là bằng chứng của Kushilevitz-Mansour-Nisan về định lý Goldreich-Levin .

Scott Aaronson trên thực tế đã đưa ra một hướng dẫn tại FOCS'08 về " Phương pháp đa thức trong tính toán cổ điển và lượng tử (ppt) ".

Hi vọng điêu nay co ich.

Có kết quả của Zeev Dvir về vấn đề Kakeya hữu hạn đã được đề cập trên trang web này trước đây. Zeev đã sử dụng phương pháp đa thức để hạ thấp số lượng điểm trong bất kỳ tập hợp điểm nào trong F ^ n (trường hữu hạn F, số tự nhiên n) có chứa một đường theo mọi hướng. Kết quả này thực sự thu hút sự chú ý của mọi người trong phân tích đối với phương pháp đa thức.

Kết quả của Zeev được thúc đẩy bởi nhiệm vụ xây dựng các bộ trích xuất ngẫu nhiên . Đây là một phần trong nỗ lực rất lớn trong khoa học máy tính lý thuyết để giải mã các thuật toán, và cuối cùng cho thấy P = BPP và các kết quả phức tạp tương tự giữ được.

Xem thêm trong khảo sát của Zeev: http://www.math.ias.edu/~dvir/ con / Dvir09b.pdf