Đồ thị khối phân vùng cạnh thành móng vuốt và đường dẫn

Lại một vấn đề phân vùng cạnh có độ phức tạp mà tôi tò mò, được thúc đẩy bởi một câu hỏi trước đây của tôi .

Đầu vào: đồ thị khối $G=(V,E)$

Câu hỏi: là có một phân vùng của vào E 1 , E 2 , ... , E s , như vậy mà các đồ thị con gây ra bởi mỗi E i là hoặc là một móng vuốt (tức là K 1 , 3 , thường được gọi là một ngôi sao) hoặc 3 -path (tức là P 4 )?$E$$E_1, E_2, \ldots, E_s$$E_i$$K_{1,3}$$3$$P_4$

Tôi nghĩ rằng tôi đã thấy một bài báo vào một ngày mà vấn đề này đã được chứng minh là hoàn thành NP, nhưng tôi không thể tìm thấy nó nữa và tôi không nhớ liệu kết quả đó có áp dụng cho biểu đồ khối hay không. Về một vấn đề liên quan, tôi biết rằng phân vùng cạnh một đồ thị lưỡng cực thành móng vuốt là NP hoàn chỉnh (xem Dyer và Frieze ). Có ai có một tài liệu tham khảo cho vấn đề mà tôi mô tả, hoặc một cái gì đó liên quan (nghĩa là cùng một vấn đề trên một lớp biểu đồ khác, sau đó tôi có thể cố gắng giảm xuống thành biểu đồ khối) không?

Đây không phải là một câu trả lời cho sự phức tạp của vấn đề, nhưng ít nhất nó cho thấy rằng sự phức tạp có cơ hội là không cần thiết: đó là một ví dụ về đồ thị hình khối không thể phân chia thành các đường dẫn và móng vuốt.

_{(nguồn: uci.edu )}

Trong mỗi ba thùy của nó, bất kỳ phân vùng nào thành đường dẫn và móng vuốt chỉ có thể sử dụng sáu trong bảy cạnh. Sáu cạnh trung tâm còn lại có dạng một móng với mỗi cạnh được chia nhỏ, không thể phân chia thành các đường dẫn và móng vuốt.

ETA : Biểu đồ hiển thị ở trên nổi tiếng hơn như là một ví dụ về biểu đồ khối mà không có kết hợp hoàn hảo. Nhưng mỗi đồ thị khối với một kết hợp hoàn hảo có một phân tách thành các đường dẫn (thậm chí không sử dụng bất kỳ móng vuốt nào). Theo định lý của König, điều này bao gồm tất cả các đồ thị lưỡng cực khối và theo định lý của Petersen, nó bao gồm tất cả các đồ thị khối không cầu, trả lời một câu hỏi của Joseph Malkevitch trong các bình luận.

Bằng chứng rất đơn giản: nếu M là một kết hợp hoàn hảo trong đồ thị hình khối, việc loại bỏ M để lại một đồ thị 2 thông thường, nghĩa là, một sự kết hợp rời rạc của các chu kỳ. Định hướng từng chu kỳ một cách tùy ý và gắn từng tia uv của M vào các cạnh chu kỳ theo u và v theo hướng của chu kỳ của chúng.

Theo hướng khác, nếu tồn tại sự phân tách thành các đường dẫn, thì tồn tại một kết hợp hoàn hảo: các cạnh giữa của mỗi đường dẫn phải khớp nhau vì không có hai cạnh giữa có thể chia sẻ một đỉnh ba độ.

(Tuyên bố miễn trừ trách nhiệm: ý tưởng này có thể đã có mặt trong bài nói chuyện được mời của Carsten Thomassen tại GD 2010, đó là về vấn đề phân tách biểu đồ này.)

(Ngoài chối trách nhiệm (Anthony Labarre): các "định hướng tư tưởng" cho đi từ một kết hợp hoàn hảo để một phân vùng vào đường dẫn xuất hiện trong bài viết này bởi Junger, Reinelt và Pulleyblank , người ghi bản quyền của WH Cunningham.)

$k$$k\geq 3$$k=3$$2$$3$

Đây thực sự không phải là kết thúc của câu chuyện: nếu đồ thị hình khối là lưỡng cực, thì thật dễ dàng phân vùng tập hợp cạnh của nó chỉ bằng móng vuốt, bằng cách chọn một bộ hai phần và biến nó thành một tập hợp "trung tâm vuốt". Vấn đề chung thực sự khó khăn, điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng mức giảm từ CƠ SỞ LÝ THUYẾT CUBIC PLANAR MONOTONE 1-IN-3 SATISFIABILITY. Tất cả các chi tiết có thể truy cập tự do trên arxiv .

Có lẽ bài báo này có thể được quan tâm:

Kleinschmidt, Peter Phân vùng thường xuyên của đồ thị thông thường. Canada. Môn Toán. Bò đực. 21 (1978), không. 2, 177 Tiếng181.

Nó liên quan đến các biểu đồ có thể được viết dưới dạng liên kết của "đường dẫn Z" có độ dài 3. (Cụ thể là đồ thị phẳng, 3-valent, 3 kết nối - 3 khối đa giác.)