Là sự thay đổi chuỗi hai màu?

Đối với biểu thị bởi các phần tử nhỏ nhất của .$A\subset [n]$$a_i$$i^{th}$$A$

Đối với hai tập hợp , , chúng tôi nói rằng nếu cho mọi .$k$$A,B\subset [n]$$A\le B$$a_i\le b_i$$i$

Một hypergraph -uniform được gọi là một sự thay đổi chuỗi nếu vì bất kỳ hyperedges, , chúng tôi có hoặc . (Vì vậy, một chuỗi dịch chuyển có nhiều nhất là siêu tăng .)$k$${\mathcal H}\subset [n]$$A, B \in {\mathcal H}$$A\le B$$B\le A$$k(n-k)+1$

Chúng ta nói rằng một siêu đồ thị có thể hai màu (hoặc nó có Thuộc tính B) nếu chúng ta có thể tô màu các đỉnh của nó bằng hai màu sao cho không có siêu sắc nào là đơn sắc.${\mathcal H}$

Có đúng là các chuỗi dịch chuyển có hai màu nếu đủ lớn?$k$

Nhận xét. Lần đầu tiên tôi đăng vấn đề này trên mathoverflow , nhưng không ai bình luận về nó.

Vấn đề đã được điều tra trên Hội thảo Emlektabla đầu tiên cho một số kết quả một phần, xem tập sách .

Câu hỏi được thúc đẩy bởi sự phân rã của nhiều lớp phủ của mặt phẳng bằng cách dịch các hình dạng lồi, có nhiều câu hỏi mở trong lĩnh vực này. (Để biết thêm, xem luận án tiến sĩ của tôi .)

Với có một ví dụ tầm thường: (12), (13), (23).$k=2$

Một ví dụ rất kỳ diệu đã được đưa ra cho bởi Radoslav Fulek với một chương trình máy tính:$k=3$

(123), (124), (125), (135), (145), (245), (345), (346), (347), (357),

(367), (467), (567), (568), (569), (579), (589), (689), (789).

Nếu chúng ta cho phép siêu dữ liệu là sự kết hợp của hai chuỗi dịch chuyển (có cùng thứ tự), thì sẽ có một ví dụ cho bất kỳ .$k$

Cập nhật. Gần đây tôi đã quản lý để chỉ ra rằng phiên bản hạn chế hơn của chuỗi dịch chuyển là hai màu trong bản in này .

Tiền thưởng vĩnh viễn! Tôi rất vui khi được thưởng 500 tiền thưởng cho một giải pháp bất cứ lúc nào!

Đây không phải là một câu trả lời. Điều gì sau đây là một bằng chứng đơn giản rằng việc xây dựng cho k = 3 thực sự là một ví dụ mẫu. Tôi nghĩ rằng người hỏi biết bằng chứng này, nhưng dù sao tôi cũng sẽ đăng nó vì bằng chứng này rất hay và điều này có thể hữu ích khi mọi người xem xét trường hợp k lớn hơn .

Thật dễ dàng để xác minh rằng đó là một chuỗi thay đổi. Hãy cho thấy rằng nó không có Tài sản B.

Trên thực tế, các biểu đồ con {(123), (145), (245), (345), (346), (347), (357), (367), (467), (567), (568), (569), (789)} đã không thỏa mãn Thuộc tính B. Để thấy điều này, giả sử rằng siêu dữ liệu này có 2 màu và cho c _i là màu của đỉnh i . Nhìn vào ba siêu tăng (145), (245), (345). Nếu c ₄ = c ₅ , thì tất cả 1, 2 và 3 phải có màu đối lập với c ₄ , nhưng điều này sẽ tạo ra một siêu phẳng đơn sắc (123). Do đó, nó phải là trường hợp đó c ₄ ≠ c ₅ . Tương tự như vậy,

• c ₃ ≠ c ₄ bằng cách so sánh ba siêu tăng (345), (346), (347) và nhận thấy một siêu tăng (567).
• c ₆ ≠ c ₇ bằng cách so sánh ba hyperedges (367), (467), (567) và nhận thấy một hyperedge (345).
• c ₅ ≠ c ₆ bằng cách so sánh ba hyperedges (567), (568), (569) và nhận thấy một hyperedge (789).

Do đó, ta có c ₃ ≠ c ₄ ≠ c ₅ ≠ c ₆ ≠ c ₇ . Nhưng điều này hàm ý c ₃ = c ₅ = c ₇ , làm cho hyperedge (357) đơn sắc. Điều này mâu thuẫn với giả định của 2 màu.

Có lẽ tôi đang thiếu một cái gì đó nhưng tôi nghĩ rằng có một giới hạn thấp hơn với phương pháp xác suất:

Nếu bạn tô màu mỗi đỉnh indepedently với xác suất cho mỗi màu sau đó bạn có một lợi thế cạnh đơn sắc với xác suất 2 ⋅ ( $1/2$. VớiBổ đề địa phương Lovászbạn nhận được rằng sự thay đổi chuỗi có tài sảnBnếu k(n-k)+1≤2 k - $2 \cdot (\dfrac{1}{2})^k = 2^{-k+1}$$B$ Tôi không thể trực tiếp giải quyết sự bất bình đẳng này, nhưng nếu bạn cók=Ω(log(n))sau đó bạn nhận được trên somethink phía bên tay trái nhưnlog(n)và ở phía bên tay phảinc(do đó bất đẳng thức đúng vớinđủ lớn).

Có giới hạn tốt hơn của $O(\sqrt{k/\ln(k)} \cdot 2^k)$$k$$B$