Xác định những gì có thể đạt được bằng cách hoán vị các yếu tố của một nhóm không hoạt động

Fix một nhóm hữu hạn . Tôi quan tâm đến vấn đề quyết định sau: đầu vào là một số phần tử của G với thứ tự một phần trên chúng, và câu hỏi là liệu có sự hoán vị của các phần tử thỏa mãn thứ tự hay không và đó có phải là thành phần của các phần tử trong đó không thứ tự mang lại yếu tố trung tính của nhóm e .$G$$G$$e$

Chính thức, vấn đề -test$G$ như sau, trong đó nhóm được sửa:$G$

• Input: một hữu hạn ra lệnh một phần bộ với một chức năng ghi nhãn μ từ P đến G .$(P, <)$$\mu$$P$$G$
• Đầu ra: cho dù có tồn tại một phần mở rộng tuyến tính của (nghĩa là tổng thứ tự ( P , < ′ ) sao cho tất cả x , y ∈ P , x < y ngụ ý x < ′ y ), sao cho, viết các phần tử của P sau tổng trật tự < ' như x 1 , ... , x n , chúng ta có μ ( x 1 ) ⋅ ⋯ ⋅ μ $P$$(P, <')$$x, y \in P$$x < y$$x <' y$$P$$<'$$x_1, \ldots, x_n$ .$\mu(x_1) \cdot \cdots \cdot \mu(x_n) = e$

Đối với bất kỳ nhóm , vấn đề G -test rõ ràng nằm ở NP. Câu hỏi của tôi là: Có nhóm G sao cho vấn đề G -test là NP-hard?$G$$G$$G$$G$

Một vài nhận xét về các báo cáo vấn đề tương đương:

• Ngôn ngữ của posets và phần mở rộng tuyến tính có thể được thay thế tương đương bằng ngôn ngữ của DAG và các thứ tự tôpô. Đó là, nếu bạn thích, bạn có thể nghĩ đầu vào là một DAG với các đỉnh được gắn nhãn với các thành phần nhóm và là đầu ra khi hỏi liệu một số loại cấu trúc liên kết của DAG đầu vào có đạt được .$e$
• Thay vào đó, người ta có thể xem xét một vấn đề khó hơn khi chúng ta được đặt một vị trí và g ∈ G , và hỏi liệu g (chứ không phải e ) có thể được nhận ra không. Trong thực tế, vấn đề mạnh làm giảm các phần trên: chúng ta có thể đặt câu hỏi liệu e có thể được thực hiện bằng cách ( P ' , < ) , nơi P ' là P nhưng với một yếu tố nhãn g - 1 mà là nhỏ hơn so với tất cả những người khác. Do đó sự lựa chọn tự nhiên của e trong định nghĩa trên.$(P, <)$$g \in G$$g$$e$$e$$(P', <)$$P'$$P$$g^{-1}$$e$

Bây giờ, về những nỗ lực của tôi để giải quyết vấn đề:

• Tất nhiên, nếu nhóm là giao hoán, thì vấn đề G -test rõ ràng là trong PTIME vì tất cả các phần mở rộng tuyến tính đều đạt được cùng một phần tử nhóm, vì vậy chúng ta có thể chọn bất kỳ một trong số chúng theo cách sắp xếp theo cấu trúc liên kết và kiểm tra xem nó có phải là e hay không. Vì vậy, trường hợp thú vị là G không giao hoán . Tổng quát hơn, nếu G có sự đồng hình với một số nhóm giao hoán không tầm thường (ví dụ: chữ ký , cho hoán vị), một điều kiện cần nhưng không đủ là xem xét vấn đề thông qua phép đồng hình và kiểm tra nó trong PTIME trong hình ảnh giao hoán . Tôi không biết liệu điều này có thể khái quát thành sơ đồ phân rã cho tất cả các nhóm hữu hạn hay không.$G$$G$$e$$G$$G$
• Nếu quan hệ thứ tự trống (nghĩa là chúng ta được cung cấp nhiều phần tử trong và có thể sử dụng bất kỳ hoán vị nào), thì vấn đề có thể được giải quyết bằng lập trình động, trong đó các trạng thái là số lần xuất hiện của mỗi phần tử trong G vẫn còn không được sử dụng (hãy nhớ rằng G là cố định, vì vậy số lượng trạng thái sau đó là đa thức trong đầu vào).$G$$G$$G$
• Đối với các đầu vào là các tập có chiều rộng không đổi, chúng ta có thể sử dụng thuật toán động sau khi phân tách chuỗi. Vì vậy, nếu độ cứng giữ nó phải được sử dụng các đầu vào có độ rộng tùy ý. Lưu ý rằng đối với các vị trí rộng, số lượng "trạng thái" có thể có trong phương pháp lập trình động sẽ là số lượng đảo lộn của vị trí, nói chung là theo cấp số nhân và không đa thức, do đó phương pháp này không trực tiếp hoạt động.
• Vấn đề tương tự có thể được nghiên cứu cho các đơn chất hơn là các nhóm, nhưng đối với các đơn chất tôi đã biết rằng nó rất khó, bởi một lập luận khá phức tạp liên quan đến đơn chất chuyển tiếp của một máy tự động và giảm xuống một biến thể của câu hỏi CSthe trước đó . Bằng chứng đầy đủ về điều này là trong bản in lại này , các phụ lục D.1.3 và D.1.4, mặc dù thuật ngữ này rất khác nhau. Do đó, khi -testing là PTIME, nó phải sử dụng tính không khả dụng của các phần tử nhóm.$G$
• Nếu chúng tôi hỏi liệu tất cả các tiện ích mở rộng tuyến tính có nhận ra (chứ không phải là một số không), thì tôi biết vấn đề xảy ra trong PTIME (xem phụ lục D.2 của cùng một bản in trước), mặc dù tôi cũng biết rằng vấn đề khác này sẽ là coNP- khó cho các đơn sắc hơn là các nhóm (D.1.3 và D.1.4).$e$

Nếu -test là khó khăn cho một số G , tất nhiên, câu hỏi tự nhiên là liệu một số phân đôi nắm giữ, và trong đó tiêu chí sẽ phân biệt dể làm G và không dể làm G . Trong thực tế, câu hỏi này có thể được hỏi nhiều hơn khi chúng ta sử dụng automata hữu hạn thay vì các nhóm. (Chính thức: Fix một hữu hạn bảng chữ cái Σ , và xác định hữu hạn automaton (DFA) hữu hạn Một trên Σ , và xem xét một vấn đề -test, cho một poset dán nhãn với các yếu tố từ Σ , trong kiểm tra xem một số hình thức mở rộng tuyến tính một lời chấp nhận bởi A. ) Tất nhiên tôi không có ý tưởng về những câu hỏi khó hơn.$G$$G$$G$$G$$\Sigma$$A$$\Sigma$$A$$\Sigma$$A$

$G$$G$

bằng chứng

$f(x) = -x$$g_a(x) = x + a$

$G$$f$$g_a$

$G$$\{f \circ g_a | a \in \mathbb{Z} \} \cup \{g_a | a \in \mathbb{Z} \}$

$G$

$a_1, a_2, ..., a_n$

$P$$n+2$$f$$n$$g_{a_i}$$i = 1,..., n$

$g_p \circ g_q = g_{p+q}$$f \circ g_p \circ f = g_{-p}$$P$$g_{\sum_{i \not\in I}a_i - \sum_{i \in I}a_i}$$I$$g_{a_i}$$f$$g_0$$P$$\sum_{i \not\in I}a_i - \sum_{i \in I}a_i = 0$$\sum_{i \not\in I}a_i = \sum_{i \in I}a_i$

$G$$I$$\sum_{i \not\in I}a_i = \sum_{i \in I}a_i$

$G$$G$

Với đồng tác giả của tôi, chúng tôi vừa đăng một bản in thử nghiên cứu vấn đề này nói chung hơn cho các ngôn ngữ thông thường. Trong trường hợp các nhóm hữu hạn, chúng tôi cho rằng vấn đề có thể xử lý được (tính bằng NL) trong trường hợp thứ tự từng phần trên các phần tử bao gồm một chuỗi các chuỗi: xem Định lý 6.2. Chúng tôi sẽ phỏng đoán rằng vấn đề đối với các DAG nói chung cũng nằm ở NL, và có một số hy vọng mở rộng kỹ thuật cho cài đặt đó, nhưng chúng tôi đang thiếu một thành phần cho vấn đề này, liên quan đến câu hỏi này - để biết chi tiết, xem phần in trước, Phần 6, đoạn "Hạn chế" ở cuối, giới hạn thứ hai.