Phần mở rộng của định lý Ramsey: đơn sắc nhưng đa dạng

Theo dõi câu hỏi trước đây của tôi , đã được Hsien-Chih Chang giải quyết, đây là một nỗ lực khác để tìm ra một khái quát hóa phù hợp của định lý Ramsey. (Bạn không cần phải đọc câu hỏi trước đó; bài đăng này là độc lập.)

Các tham số: các số nguyên $1 \ll d \ll k \ll n$ được đưa ra, và sau đó $N$ được chọn là đủ lớn. Thuật ngữ: một tập hợp $m$ là tập con có kích thước $m$ .

Đặt $B = \{1,2,...,N\}$ . Đối với mỗi $k$ -subset $S \subset B$ , gán một màu $f(S) \in \{0,1\}$ .

Định nghĩa:

• $X \subset B$ làđơn sắcnếu$f(S) = f(S')$ cho tất cả$k$ -subsets$S \subset X$ và$S' \subset X$ .
• $X \subset B$$X = \{ x_1, x_2, ..., x_n \}$$x_i < x_{i+1}$$x_i\,\not\equiv x_{i+1} \text{ mod } d$$i$

Ví dụ: nếu , thì rất đa dạng nhưng thì không. Lưu ý rằng một tập hợp con của một tập hợp đa dạng không nhất thiết phải đa dạng.{ 12 , 15 , 23 , 32 , 39 } { 12 , 15 , 25 , 32 , 39 $d = 10$$\{ 12, 15, 23, 32, 39 \}$$\{ 12, 15, 25, 32, 39 \}$

Bây giờ lý Ramsey cho biết rằng dù thế nào chúng ta chọn , có một đơn sắc -subset . Và rõ ràng nó là tầm thường để tìm một đa dạng -subset .n X ⊂ B n X ⊂ $f$$n$$X \subset B$$n$$X \subset B$

Câu hỏi: luôn có một -subset đa dạng và đơn sắc ?X ⊂ $n$$X \subset B$

Chỉnh sửa: Hsien-Chih Chang cho thấy tuyên bố đó là sai đối với một số nguyên tố , nhưng còn tổng hợp thì sao? Trong các ứng dụng của mình, tôi sẽ có nhiều tự do trong việc lựa chọn các giá trị chính xác của , miễn là tôi có thể làm cho chúng lớn tùy ý. Chúng có thể là quyền hạn của số nguyên tố, sản phẩm của số nguyên tố hoặc bất cứ điều gì cần thiết để đưa ra yêu sách đúng.d d ≪ k ≪ $d$$d$$d \ll k \ll n$

Đầu tiên tôi phải nói: vấn đề này thực sự thú vị !! Và ở đây tôi mô tả ngắn gọn lý do tại sao các cách tiếp cận trước đây của tôi thất bại, như được đề xuất trong bài đăng meta này về câu trả lời không chính xác.

• Nỗ lực đầu tiên của tôi là cố gắng xây dựng một màu liên quan đến tập hợp của tập con k làm cho tất cả các tập con n không đơn sắc. Bổ đề 1 vẫn có sẵn; nhưng Bổ đề 2 là sai, bằng cách quan sát rằng nếu k và d là số nguyên tố có liên quan, sau đó là một n-tập con trong mô-đun d được đề xuất bởi @Jukka là một phản ví dụ.$\{1,3,1,3, \ldots\}$

• Lần thử thứ hai là một bằng chứng cho định lý; bằng cách đếm tỷ lệ của -subets đa dạng và đơn sắc , chúng tôi hy vọng rằng số lượng các đơn sắc sẽ vượt qua các tỷ lệ đơn sắc . Nhưng đó là một lỗi trong tính toán của tôi, được quan sát bởi @domotorp: tỷ lệ không đa dạng sẽ không đạt đến mức 0; nó hội tụ đến khoảng n / d , rõ ràng lớn hơn R ( n , n ; k ) - n .$n$$n/d$$R(n,n;k)^{-n}$

• Phương thức thứ ba quay trở lại phương thức đầu tiên và nó cho thấy đối với tập tham số yếu uber ( và d ∣ k ), định lý là sai. Chúng tôi đã sử dụng một bổ đề nổi tiếng trong tổ hợp cộng gộp: định lý EGZ.$n > k+d-1$$d \mid k$

Lần thử thứ tư là do câu trả lời của @domotorp; nó vừa thông minh vừa truyền cảm hứng, và tôi sẽ cố gắng sửa đổi bằng chứng của anh ấy để đối phó với tất cả các thông số. Nhưng phương pháp của ông vẫn thanh lịch, và tôi hoàn toàn đánh giá cao phương pháp đơn giản này.

Một tập hợp n đa dạng chứa ít nhất một tập hợp con k với ít nhất "chuyển đổi giữa các lớp mod"; chính xác, đặt X = x 1 , Hoài , x n là tập n đa dạng và đặt S ∗ = x 1 , Hoài , x k , một công tắc được xác định nếu x i và x i + 1 ở các mod-d khác nhau các lớp học. Chúng tôi có k-1 công tắc cho S * .$k-1$$X = x_1,\ldots,x_n$$S^* = x_1,\ldots,x_k$$x_i$$x_{i+1}$$S^*$

Hãy để một k-tập con được màu đỏ nếu S có ít nhất 2 k công tắc; nếu không nó là màu xanh . Ở đoạn trước chúng ta đã có một màu xanh lam, bây giờ chúng tôi chứng minh rằng với n > k + d + 1 , có một chữ S màu đỏ trong bất kỳ n-set X nào . Vì n > d , có hai số x i , x j trong cùng một lớp mod-d và j - i ≤ d - 1 ; và vì n > k + $S$$S$$n > k+d+1$$S$$X$$n > d$$x_i,x_j$$j-i \leq d-1$ , có ít nhất k-2 phần tử x k trong X với k < i hoặc k > j . Và chúng ta có thể xây dựng một tập hợp con k- S với x i bên cạnh x j , mà chỉ chuyển tối đa là k-2 lần. Do đó S là tập con k màu đỏ.$n > k+d+1$$x_k$$X$$k<i$$k>j$$S$$x_i$$x_j$$S$

Tôi có thể đã hiểu nhầm câu hỏi của bạn, nhưng nếu không, tôi nghĩ đó là sai. Tô màu cho các bộ k có các thành viên đều là modulo d đồng nhất bằng màu đỏ, các bộ k khác bằng màu xanh. Nếu n> kd, thì bất kỳ tập n nào cũng phải chứa tập k có các thành viên đều là modulo d đồng dạng và do đó có màu đỏ. Mặt khác, nếu một tập hợp k chứa hai phần tử liên tiếp của tập n đa dạng, thì nó có màu xanh.