Tìm các đồ thị con với treewidth cao và mức độ không đổi

Tôi được đưa ra một đồ thị với treewidth k và mức độ tùy ý, và tôi muốn tìm một đồ thị H của G (không nhất thiết là một đồ thị con cảm ứng) sao cho H có độ không đổi và treewidth của nó càng cao càng tốt. Chính thức vấn đề của tôi là như sau: đã chọn một mức độ ràng buộc d ∈ N , hàm "tốt nhất" f : N → N sao cho, trong bất kỳ đồ thị G nào với treewidth k , tôi có thể tìm thấy (hy vọng một cách hiệu quả) một sơ đồ H của G với mức độ tối đa ≤ $G$ $k$$H$$G$$H$$d \in \mathbb{N}$$f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$G$$k$$H$$G$$\leq d$và treewidth .$f(k)$

Rõ ràng chúng ta nên lấy vì không có đồ thị treewidth cao với mức độ tối đa < 3 . Ví d = 3 Tôi biết rằng bạn có thể làm e như vậy mà f ( k ) = Ω ( k 1 / 100 ) hoặc lâu hơn, bằng cách kêu gọi Chekuri và Chuzhoy của kết quả khai thác nhỏ lưới$d \geq 3$$<3$$d = 3$$f$$f(k) = \Omega(k^{1/100})$(và sử dụng nó để trích xuất một đồ thị bậc 3 cao cấp, ví dụ, một bức tường, như là một cấu trúc liên kết nhỏ), với tính toán của đồ thị con là khả thi (tính bằng RP). Tuy nhiên, đây là một kết quả rất mạnh mẽ với một bằng chứng phức tạp, vì vậy cảm thấy sai khi sử dụng nó cho một vấn đề có vẻ đơn giản hơn nhiều: tôi chỉ muốn tìm bất kỳ sơ đồ con cấp độ cao, liên tục, không phải là một cụ thể như trong kết quả của họ. Hơn nữa, ràng buộc trên không tốt như tôi mong đợi. Chắc chắn, nó được biết đến rằng nó có thể được thực hiện Ω ( k 1 / 20 ) (lên đến bỏ hiệu quả của việc tính toán), nhưng tôi hy vọng cho một cái gì đó giống như Ω ( k $f$$\Omega(k^{1/20})$$\Omega(k)$. Vì vậy, có thể chỉ ra rằng, với một đồ thị của treewidth k , có một sơ đồ con của G với mức độ không đổi và treewidth tuyến tính tính bằng k ?$G$$k$$G$$k$

Tôi cũng đang quan tâm trong cùng một câu hỏi chính xác cho pathwidth hơn treewidth. Đối với băng thông đường dẫn, tôi không biết bất kỳ sự tương tự nào đối với trích xuất lưới nhỏ, vì vậy vấn đề có vẻ còn bí ẩn hơn ...

$\Omega(k/polylog(k))$$k$$G$

$\Omega(k^{1/4})$

$\log^2(k)$$\Omega(k/\mathsf{polylog}(k))$