-có liên quan đến định mức cắt

Định mức cắt $||A||_C$ của một ma trận thực $A = (a_{i,j}) \in \mathcal{R}^{n\times n}$ là cực đại trên tất cả $I \subseteq [n], J \subseteq [n]$ của đại lượng $\left|\sum_{i \in I, j \in J}a_{i,j}\right|$ .

Xác định khoảng cách giữa hai ma trận $A$ và $B$ là $d_C(A,B) = ||A-B||_C$

Cardinality của nhỏ nhất là gì $\epsilon$ -net của không gian metric $([0,1]^{n\times n}, d_C)$ ?

tức là kích thước của tập hợp con nhỏ sao cho với mọi , có tồn tại một mà . $S \subset [0,1]^{n\times n}$ $A \in [0,1]^{n\times n}$ $A' \in S$ $d_C(A, A') \leq \epsilon$

(EDIT: Tôi quên đề cập đến, nhưng tôi cũng đang quan tâm đến việc "không thích hợp" -nets, với - tức là nếu các yếu tố của -net có mục bên ngoài [0,1 ], điều đó cũng thú vị.) $\epsilon$ $S \subset \mathcal{R}_+^{n\times n}$ $\epsilon$

Tôi quan tâm đến cả giới hạn trên và giới hạn dưới.

Lưu ý rằng các kỹ thuật cắt sparsifier nghĩa -nets cho các số liệu cắt, nhưng cung cấp cho một cái gì đó mạnh hơn tôi cần - họ đưa ra một -net mà bạn có hiệu quả có thể tìm thấy một điểm -close cho bất kỳ ma trận đơn giản bằng cách lấy mẫu từ ma trận đó. Người ta có thể tưởng tượng rằng có tồn tại nhỏ hơn nhiều -nets mà bạn có thể không chỉ đơn giản là mẫu làm tìm một điểm -close đến một ma trận tùy ý. $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$

Ban đầu tôi đã hỏi câu hỏi này ở đây trên mathoverflow.

— Aaron
nguồn

Do định mức cắt của A lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của mỗi mục nhập của A, nên rõ ràng một mạng must phải có kích thước ít nhất (1 / (2ε)) ^ (n ^ 2). Giới hạn trên có nguồn gốc từ kỹ thuật sparsifier cắt là gì? (Đây có lẽ là một câu hỏi ngớ ngẩn, nhưng tôi không biết kỹ thuật đó.)

— Tsuyoshi Ito

Để chắc chắn, tôi đã biến nửa đầu của bình luận trước đây của mình thành một câu trả lời (và thêm một giới hạn trên cho nó). Tôi vẫn quan tâm đến giới hạn trên xuất phát từ kỹ thuật sparsifier cắt.

— Tsuyoshi Ito

Kỹ thuật trên mang lại ma trận với các mục trong

thay vì trong

. Tôi quên đề cập đến nó trong bài viết, nhưng tôi cũng đang quan tâm đến các loại

-covers.

{0, m | | A | |_{1}}

$\{0, m||A||_1\}$

[0, 1]

$[0,1]$

ϵ

$\epsilon$

— Aaron Roth

Các

-net bạn nhận được từ cắt sparsification không thực sự nằm trong

. Giải thích các ma trận như một phân bố xác suất trên các cạnh của một đồ thị có hướng, và mẫu

cạnh từ phân phối. Trọng lượng mỗi cạnh bằng

. Theo các đối số kích thước VC (hoặc chỉ là một liên kết bị cắt), lỗi cộng gộp tối đa trên bất kỳ vết cắt nào sẽ là

ϵ

$\epsilon$

[0, 1]^{n \times n}

$[0,1]^{n×n}$

m = \tilde{O} (n / ϵ^{2})

$m=\tilde{O}(n/\epsilon^2)$

| | A | |_{1} / m

$||A||_1/m$

O (ϵ n^{2})

$O(\epsilon n^2)$ . Vì vậy, điều này có nghĩa rằng các thiết lập của đồ thị (trọng số thích hợp) trên

mép tạo thành một

-net, đó là không tầm thường cho

n^{5} / ϵ^{2}

$n^5/\epsilon^2$

ϵ

$\epsilon$

ϵ > n^{3 / 2}

$\epsilon>n^{3/2}$

— Aaron Roth

Đây là một ước tính dễ dàng. Ở đây chúng ta gọi là một tập S ⊆ X một ε -net của một không gian metric X khi cho mỗi điểm x ∈ X , tồn tại một điểm s ∈ S như vậy mà khoảng cách giữa x và s là tại hầu hết các ε . Nếu bạn muốn có sự bất bình đẳng nghiêm ngặt trong định nghĩa của ε -net, bạn có thể điều chỉnh giá trị của ε một chút.

Nó giữ điều đó | | Một | | _∞ ≤ | | Một | | _C ≤ n ² || Một | | _∞ , ở đâu | | Một | | _∞ biểu thị entrywise max-norm của một n × n ma trận A .

Nó rất dễ dàng để xây dựng một ε -net của không gian metric ([0,1] ^N , d _∞ ) với kích thước ⌈1 / (2 ε ) ⌉ ^N , và nó không phải là khó khăn để chứng minh rằng kích thước này là tối thiểu. (Để hiển thị mức tối thiểu, hãy xem xét points1 / (2 ε ) ⌉ ^N điểm có tọa độ là bội số của 1/1 / (2 ε ) 1⌉ và chỉ ra rằng khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ lớn hơn 2 ε .) bằng cách đặt N = n ² và kết hợp điều này với sự so sánh nói trên giữa các chỉ tiêu cắt và max-norm, cardinality tối thiểu của một ε-net đối với định mức cắt tối thiểu là ⌈1 / (2 ε ) ⌉ ^{n ²} và nhiều nhất là ⌈ n ² / (2 ε ) ^{n ²} .

Cập nhật : Nếu tính toán của tôi là chính xác, có thể thu được giới hạn dưới tốt hơn Ω ( n / ε ) ^{n ²} bằng đối số âm lượng. Để làm điều này, chúng ta cần một giới hạn trên cho khối lượng của một ε -ball đối với các chỉ tiêu cắt với.

Đầu tiên, chúng tôi xem xét các tiêu chuẩn cắt giảm của một vectơ đơn, là giá trị cực đại giữa tổng các phần tử dương và tổng âm của các phần tử âm. Nó không phải là khó khăn để chứng minh rằng khối lượng của một ε -ball trong ℝ ⁿ đối với này “Định mức cắt” với bằng

ε^{n} \sum_{I \subseteq {1, \dots, n}} \frac{1}{| I |!} \cdot \frac{1}{(n - | I |)!} = ε^{n} \sum_{r = 0}^{n} (\binom{n}{r}) \frac{1}{r! (n - r)!}

$\varepsilon^n \sum_{I \subseteq \{1,\dotsc,n\}} \frac{1}{|I|!} \cdot \frac{1}{(n-|I|)!} = \varepsilon^n \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} \frac{1}{r!(n-r)!}$

= \frac{ε^{n}}{n!} \sum_{r = 0}^{n} {(\binom{n}{r})}^{2} = \frac{ε^{n}}{n!} (\binom{2 n}{n}) = \frac{(2 n)! ε^{n}}{(n!)^{3}} .

$= \frac{\varepsilon^n}{n!} \sum_{r=0}^n \binom{n}{r}^2 = \frac{\varepsilon^n}{n!} \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!\varepsilon^n}{(n!)^3}.$

Tiếp theo, từ mức cắt của một n × n ma trận A là lớn hơn hoặc bằng với mức cắt của mỗi hàng, khối lượng của một ε -ball trong ℝ ^{n × n} là tại hầu hết các n thứ sức mạnh của khối lượng của một ε -ball trong ℝ ⁿ . Do đó, kích thước của ε -net là [0,1] ^{n × n} ít nhất phải là

\frac{(n!)^{3 n}}{(2 n)!^{n} ε^{n^{2}}} = {(Ω (\frac{n}{ε}))}^{n^{2}},

$\frac{(n!)^{3n}}{(2n)!^n \varepsilon^{n^2}} = \left(\Omega\left(\frac{n}{\varepsilon}\right)\right)^{n^2},$

trong đó đẳng thức cuối cùng là một phép tính nhàm chán trong đó chúng ta sử dụng công thức của Stirling : ln n ! = n ln n - n + O (log n ).

— Tsuyoshi Ito
nguồn

Để trả lời cho bản chỉnh sửa (bản sửa đổi 4) của câu hỏi, giới hạn dưới được nêu trong câu trả lời này cũng có thể áp dụng cho các mạng lưới không phù hợp.

— Tsuyoshi Ito

Có vẻ đúng, được thực hiện độc đáo!

— Hsien-Chih Chang 張顯

@ Hsien-Chih: Cảm ơn. Phần tôi thích nhất là việc sử dụng các hệ số nhị thức trong việc tính toán thể tích của một quả bóng in trong ℝ ^ n.

— Tsuyoshi Ito

Tôi nghi ngờ rằng giới hạn dưới của kích thước của mạng (tương đương, giới hạn trên của âm lượng) có thể được cải thiện. Tôi đã hỏi một câu hỏi liên quan trên MathOverflow.

— Tsuyoshi Ito