Phỏng đoán ngụ ý Định lý Bốn màu

Định lý bốn màu (4CT) nói rằng mọi đồ thị phẳng là bốn màu. Có hai bằng chứng được đưa ra bởi [Appel, Haken 1976] và [Robertson, Sanders, Seymour, Thomas 1997]. Cả hai bằng chứng này đều được máy tính hỗ trợ và khá đáng sợ.

Có một số phỏng đoán trong lý thuyết đồ thị ngụ ý 4CT. Việc giải quyết các phỏng đoán này có lẽ đòi hỏi sự hiểu biết tốt hơn về các bằng chứng của 4CT. Đây là một phỏng đoán như vậy:

Phỏng đoán : Đặt là đồ thị phẳng, cho C là tập hợp các màu và f : C → C là một phép biến đổi tự do điểm cố định. Hãy L = ( L v : v ∈ V ( G ) ) được như vậy mà$G$$C$$f : C \rightarrow C$$L = (L_v : v \in V(G))$

• cho tất cả v ∈ V và$|L_v| \geq 4$$v \in V$
• nếu sau đó f ( α ) ∈ L v cho tất cả v ∈ V , cho tất cả các α ∈ C .$\alpha \in L_v$$f(\alpha) \in L_v$$v \in V$$\alpha \in C$

Sau đó, có tồn tại một -coloring của đồ thị G .$L$$G$

Nếu bạn biết những phỏng đoán như vậy ngụ ý 4CT, vui lòng liệt kê chúng trong mỗi câu trả lời. Tôi không thể tìm thấy một danh sách toàn diện về những phỏng đoán như vậy.

4CT tương đương với:

• Tô màu một siêu dữ liệu gây ra bởi một họ đĩa hữu hạn (không nhất thiết phải tách rời bên trong mà cả các đĩa có thể có sự chồng chéo tùy ý) với tối đa bốn màu .$[1]$
• Mệnh đề cho rằng mọi tam giác phẳng có nhiều hơn ba đỉnh là sự kết hợp của hai đồ thị lưỡng cực được kết nối, mỗi đồ thị không có isthmus .$[2]$
• Một bài toán tổ hợp về đại số vectơ chéo ba chiều .$[3]$
• Mệnh đề rằng ngữ pháp G hoàn toàn mơ hồ .$[4]$
• Đối với bất kỳ số nguyên dương , tồn tại ít nhất một đường dẫn có thể ký được nối hai hoán vị của S n .$n$$S_n$

• Một đại số tương đương với định lý bốn màu được trình bày. Tương đương là sự khẳng định không phải là thành viên của một gia đình đa thức trong một gia đình có lý tưởng đa thức đối với một lĩnh vực hữu hạn cụ thể .$[6]$

  1. Smorodinsky S. Trên số lượng sắc độ của siêu dữ liệu hình học .
  2. Đồ thị Mabry R. Bipartite và Định lý bốn màu .
  3. Kauffman LH Bản đồ tô màu và các sản phẩm chéo vector .
  4. Cooper BJ và cộng sự. Hướng tới một bằng chứng lý thuyết ngôn ngữ của định lý bốn màu .
  5. Eliahou S. et al. Ký hoán vị và định lý bốn màu .
  6. Howard L. Một cải cách đại số của Định lý Bốn màu .

Một xác minh cơ học khác của định lý 4 màu đã được thực hiện bởi George Gonthier tại Microsoft Research Cambridge. Sự khác biệt với bằng chứng của ông là toàn bộ định lý đã được nêu và xác minh một cách cơ học bằng cách sử dụng trợ lý chứng minh Coq, trong khi các bằng chứng khác chỉ chứa phép tính hạt nhân được viết bằng ngôn ngữ hội và C, do đó có nguy cơ bị lỗi. Bằng chứng của Gonthier bao gồm cả các khía cạnh tính toán và các khía cạnh logic chỉ trong 60.000 dòng Coq.

Tôi đã nói về điều này trên blog của mình và cái nhìn sâu sắc của chúng tôi là: ví dụ như tình trạng của Tait có thể bị suy yếu do có một màu có nhiều lỗi o (n) nhất. Xem tại đây: http://rjlipton.wordpress.com/2009/04/24/the-four-color-theorem/

Hãy nhìn vào T. Saaty, Mười ba biến thể đầy màu sắc trên phỏng đoán 4 màu của Guthrie, American Math. Hàng tháng, 79 (1972) 2-43 cho nhiều ví dụ.

Ngoài ra, trong cuốn sách của David Barnette, Map Coloring, Polyhedra, và vấn đề bốn màu, MAA, Sê-ri Dolciani, Tập 8, 1983, nhiều ví dụ được đưa ra. Một kết quả đặc biệt thú vị trong cuốn sách của Barnete là: Nếu luôn luôn có thể cắt các đỉnh của khối đa diện lồi để tạo ra một khối đa diện lồi 3 hóa trị sao cho số cạnh của mỗi mặt là bội số của ba mặt, nó có nghĩa là sự thật của phỏng đoán bốn màu.

Các Hadwiger phỏng đoán .

Trong bài viết Rút lại mặt phẳng tuyệt đối và phỏng đoán bốn màu , Pavol Hell đã chứng minh một số công thức tương đương cho 4CT. Một trong số họ đọc như sau:

Mỗi đồ thị phẳng có 4 màu (4CT) nếu tồn tại rút lại mặt phẳng tuyệt đối.

$H$$G$$G$$r: V(G)\to V(H)$$r(v)=v$$v\in V(H)$

Mỗi đồ thị mặt phẳng hình cầu không có cầu là 3 cạnh. (Điều này tương đương với 4CT, do Tait.)

Bài báo "Lie Algebras and the Four Color" của Dror Bar-Natan (Combinatorica 17-1 (1997) 43-52, cập nhật lần cuối tháng 10 năm 1999, arXiv: q-alg / 9606016 ) có một tuyên bố hấp dẫn về đại số Lie tương đương với Định lý Bốn màu. Các khái niệm xuất hiện trong tuyên bố cũng xuất hiện trong lý thuyết về bất biến loại hữu hạn của các nút thắt (bất biến Vassiliev) và 3 đa tạp.

Dự luật 2.4 trong bài viết này http://www.scTHERirect.com/science/article/pii/0012365X9500109A# đưa ra một công thức khác cho 4CT.

$G$$\Delta(G)$$G$$G$$\Delta(G)$$G$$G$$\Delta(G)$$\Delta(G)$

$G$$K(G)$$G$$K(G)$$G$
$G$$K(G)$

Mô tả cấp cao về bằng chứng tự động của Gonthier rất đáng để đọc, nếu bạn đang tìm kiếm cái nhìn sâu sắc hơn.

Yuri Matiyasevich đã nghiên cứu một số phục hồi xác suất của Định lý Bốn màu, liên quan đến mối tương quan tích cực giữa hai khái niệm tương đồng giữa các màu. Các bằng chứng tương đương của ông dựa vào một đa thức đồ thị liên quan, cung cấp một con trỏ có khả năng khác cho các phỏng đoán ngụ ý định lý.

• Georges Gonthier, Bằng chứng chính thức , Định lý bốn màu , Thông báo của Hiệp hội toán học Hoa Kỳ 55 (11) 1382 Tiết1393, 2008.
• Yuri Matiyasevich, Một tương đương xác suất của phỏng đoán bốn màu , bản dịch của bài báo trong Teoriya Veroyatnostei i ee Primeneniya 48 411 Chuyện416, 2003.
• Yuri Matiyasevich, Một số phục hồi xác suất của phỏng đoán bốn màu , Tạp chí lý thuyết đồ thị 46 167 Phản179, 2004. ( in trước )

Tôi vừa đọc trong một bài báo của Chalopin và Gonçalves (STOC '09) những phỏng đoán sau đây về phương Tây:

Mỗi đồ thị phẳng là đồ thị giao nhau của các phân đoạn trong mặt phẳng chỉ sử dụng bốn hướng.

Do các phân đoạn song song tạo thành một tập độc lập trong một biểu diễn như vậy, phỏng đoán này hàm ý 4CT, nhưng có lẽ còn mạnh hơn.

Các tài liệu tham khảo: Tây, vấn đề mở . Bản tin toán học rời rạc SIAM J, 2 (1): 10-12, 1991.

Một Snark là một kết nối, bridgeless đồ khối đó không phải là 3 cạnh có lẽ thật. Theo wikipedia, phỏng đoán snark , khái quát hóa 4CT, như sau:

Mỗi snark có một sơ đồ con có thể được hình thành từ biểu đồ Petersen bằng cách chia một số cạnh của nó.

Một lần nữa theo wikipedia, một bằng chứng về phỏng đoán này đã được công bố vào năm 2001 bởi Robertson, Sanders, Seymour và Thomas.

"Nhãn mặt của đồ thị phẳng tối đa" là tiêu đề của bài báo cũ của tôi đã được xuất bản gần đây, trong đó tôi đã chuyển đổi 4 màu của đồ thị phẳng tối đa thành tính nhất quán của ghi nhãn khuôn mặt. Liên kết đến bài báo là http://www.math.nsysu.edu.tw/~amen/2011/091021-3.pdf

Như

LH Kauffman, Định dạng lại định lý màu bản đồ , Toán học rời rạc 302 (2005) 145 Than172

chỉ ra, Nguyên tắc nguyên thủy do G. Spencer-Brown cũng như phỏng đoán Eliahou Tường Kryuchkov là những cải cách tương đương của FCT.

• S. Eliahou, Đã lật các đường chéo và định lý bốn màu, Châu Âu J. Combin. 20 (1999) 641 bùng646.
• SI Kryuchkov, Định lý bốn màu và cây, IV Kruchatov, Viện Năng lượng nguyên tử, Moscow, 1992, IAE-5537/1.
• G. Spencer-Brown, Định luật về hình thức, Gesetze der Form, Bohmeier Verlag, 1997.

Bài viết của Garry Bowlin và Matthew G. Brin "Tô màu đồ thị phẳng qua các đường dẫn màu trong Associahedra", sửa đổi lần cuối ngày 12 tháng 5 năm 2013, arXiv: 1301,3984 math.CO chứa các phỏng đoán sau trên trang 26:

Phỏng đoán 6.4. Với mỗi cặp cây nhị phân, cây nhị phân (D, R) có cùng số lá, có một dấu hiệu gán D và một từ w của các ký hiệu xoay vòng hợp lệ cho D sao cho Dw = R.

Người ta nói rằng phỏng đoán 6.4 sau các đề xuất và định lý trước đây trong bài báo tương đương với 4CT.

Một k -flow trên một đồ thị vô hướng G là một đồ thị có hướng có nguồn gốc bằng cách thay thế mỗi cạnh trong G với một vòng cung và gán cho nó một số nguyên giữa -k và k , độc quyền, như vậy, đối với mỗi đỉnh trong G, tổng các số nguyên được gán cho các cung tròn chỉ vào đỉnh đó bằng tổng các số nguyên được gán cho các cung chỉ ra. Luồng k kZ (không ở đâu) là luồng k trong đó không có cung nào được gán số 0.

Đối với bất kỳ đồ thị phẳng G nào , kép của G là đồ thị chứa một đỉnh cho mỗi mặt trong một mặt phẳng nhúng G và hai đỉnh trong một cạnh kép chia sẻ chúng cho mọi cạnh mà các mặt tương ứng trong G chia sẻ giữa chúng trong ranh giới của họ. Theo Flow-Coloring Duality lý Tutte, một đồ thị phẳng không có eo (tức là cạnh mà xóa sẽ tăng số lượng các thành phần) có NWZ k -flow nếu và chỉ nếu kép của nó là k -colourable. Nói cách khác, một đồ thị phẳng có thể có 4 màu khi và chỉ khi bộ đôi của nó có luồng 4 luồng.

Lưu ý rằng 4CT yêu cầu đồ thị phẳng trong câu hỏi không có vòng lặp (các cạnh nối bất kỳ đỉnh nào với chính nó) bởi vì bất kỳ đồ thị nào có vòng lặp không thể được tô màu đỉnh với bất kỳ tập hợp màu nào, do đó bất kỳ đỉnh nào có vòng lặp đều sẽ liền kề với một đỉnh cùng màu, bất kể màu của nó.

Tôi đang làm việc này:

Nếu bạn có thể chứng minh định lý cho bản đồ hình chữ nhật, đó là bản đồ được làm từ các tờ giấy chồng lên nhau, bạn cũng đã chứng minh được 4ct. Ngoài ra, chỉ có thể xem xét các bản đồ có khuôn mặt có tất cả 5 cạnh trở lên trong tìm kiếm.

Xem http://4coloring.wordpress.com/ để biết chi tiết.