Khoảng cách lớn nhất giữa thứ hạng và thứ hạng gần đúng là gì?

Chúng ta biết rằng nhật ký của thứ hạng của ma trận 0-1 là giới hạn dưới của độ phức tạp giao tiếp xác định và nhật ký của thứ hạng gần đúng là giới hạn dưới của độ phức tạp giao tiếp ngẫu nhiên. Khoảng cách lớn nhất giữa độ phức tạp của giao tiếp xác định và độ phức tạp của giao tiếp ngẫu nhiên là theo cấp số nhân. Vậy còn khoảng cách giữa thứ hạng và thứ hạng gần đúng của ma trận boolean thì sao?

— pyao
nguồn

"thứ hạng gần đúng" của ma trận là gì?

— Suresh Venkat

Các rank -approximate của một ma trận boolean là cấp bậc tối thiểu của một ma trận thực rằng khác với bởi ít nhất trong bất kỳ mục (x Buhrman và Wolf năm 2001, "giới hạn Truyền thông phức tạp thấp hơn bởi đa thức"). Sẽ rất hữu ích khi chỉnh sửa câu hỏi để giải thích điều này (nếu đó là định nghĩa mong muốn) và mô tả vai trò của (vì sự khác biệt về thứ hạng rõ ràng phụ thuộc vào ).

ϵ

$\epsilon$

M

$M$

A

$A$

M

$M$

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

— mjqxxxx

Đầu tiên tôi sẽ đưa ra một số nền tảng và xác định thứ hạng gần đúng. Một tài liệu tham khảo tốt là cuộc khảo sát gần đây của Lee và Schraibman Lower Bound về Sự phức tạp trong giao tiếp .

Định nghĩa: Cho là ma trận ký hiệu. Thứ hạng gần đúng của với hệ số gần đúng , được ký hiệu , là $A$ $A$ $\alpha$ $rank^\alpha(A)$

$rank^\alpha(A)=\min_{B:1\leq A[i,j]\cdot B[i,j] \leq \alpha} rank(B)$ .

Khi , hãy xác định $\alpha\to \infty$

$rank^\alpha(A)=\min_{B:1\leq A[i,j]\cdot B[i,j]} rank(B)$ .

Một kết quả của Krause nói rằng trong đó và là Độ phức tạp trong giao tiếp của đồng tiền riêng bị lỗi của với lỗi giới hạn trên bởi . $R_\epsilon^{pri}(A)\geq \log rank^\alpha(A)$ $\alpha=1/(1-2\epsilon)$ $R_\epsilon^{pri}$ $A$ $\epsilon$

Ở trên là cho nền. Bây giờ để trả lời câu hỏi, Paturi và Simon cho thấy hoàn toàn đặc trưng cho độ phức tạp liên lạc vô biên-lỗi của . Họ cũng chỉ ra rằng điều này đồng ý với kích thước tối thiểu của một sự sắp xếp thực hiện các chức năng boolean có ma trận giao tiếp là . Độ phức tạp truyền thông lỗi không giới hạn của hàm đẳng thức là . Ghi nhớ nó trong tâm trí. $rank^\infty(A)$ $A$ $A$ $O(1)$

Ma trận truyền thông cho đẳng thức chỉ là danh tính, tức là ma trận boolean với hàng và cột với tất cả các cột trong đường chéo. Hãy biểu thị điều này bằng . Alon đã chỉ ra rằng chặt chẽ với yếu tố logarit (với định lý của Krause, chúng ta có được ). $2^n$ $2^n$ $I_{2^n}$ $rank^2(I_{2^n})=\Omega(n)$ $R_\epsilon^{pri}(EQ)=\Omega(\log n)$

Ma trận danh tính có thứ hạng đầy đủ, nghĩa là, . Do đó, chúng tôi có các khoảng cách lớn theo cấp số nhân cho và . $2^n$ $\alpha=2$ $\alpha\to\infty$

— Marcos Villagra
nguồn

Cảm ơn. nhưng câu hỏi của tôi là nếu có khoảng cách tối ưu cho và , trong đó nhưng không phải là .

r a n k (A)

$rank(A)$

r a n k^{α} (A)

$rank^{\alpha}(A)$

α > 1

$\alpha>1$

α \neq \infty

$\alpha\neq\infty$

— pyao

Tôi thấy, nhưng điều đó không được viết trong câu hỏi. Theo hiểu biết của tôi, khoảng cách lớn nhất là theo cấp số nhân.

— Marcos Villagra

Marcos cung cấp cho bạn một tham chiếu cho thấy khoảng cách giữa và . làm thế nào có thể có một khoảng cách tối ưu khi kích thước của ma trận là ?

2^{n} / n

$2^n/n$

r a n k

${rank}$

{r a n k}^{2}

${rank}^2$

2^{n}

$2^n$

— Sasho Nikolov

bạn có nghĩa là một khoảng cách của chứ không phải là ?

Ω (2^{n})

$\Omega(2^n)$

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

— Sasho Nikolov

Sasho làm cho một điểm tốt, bạn có ý nghĩa gì với "siêu số mũ? Đối với bất kỳ vấn đề giao tiếp nào, ma trận luôn luôn vượt quá .

{0, 1}^{n} \times {0, 1}^{n}

$\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$

— Marcos Villagra