Lưới

37

Cập nhật : Tập hợp vật cản (tức là "rào cản" NxM giữa các kích thước lưới có thể tô màu và không thể tô màu) cho tất cả các màu 4 màu đơn sắc-hình chữ nhật hiện đã được biết .

Bất cứ ai cũng cảm thấy muốn thử 5 màu? ;)

Câu hỏi sau đây phát sinh từ Lý thuyết Ramsey .

Hãy xem xét một màu của đồ thị lưới -by- . Một tồn tại bất cứ khi nào bốn ô có cùng màu được sắp xếp như các góc của một số hình chữ nhật. Ví dụ, và tạo thành một hình chữ nhật đơn sắc nếu họ có cùng một màu sắc. Tương tự, $k$ $n$ $m$ monochromatic rectangle $(0,0), (0,1), (1,1),$ $(1,0)$ và tạo thành một hình chữ nhật đơn sắc, nếu có màu cùng màu. $(2,2), (2,6), (3,6),$ $(3,2)$

Câu hỏi : Liệu có tồn tại một -coloring của -by- graph lưới mà không chứa một hình chữ nhật đơn sắc? Nếu vậy, cung cấp màu rõ ràng. $4$ $17$ $17$

Một số sự thật được biết đến:

-by- là -colorable mà không có một hình chữ nhật đơn sắc, nhưng các chương trình tô màu nổi tiếng dường như không phải dành cho nhà -by- trường hợp. (Tôi đang bỏ quamàu -17- vì rất có thể nó sẽ là cá trích đỏ khi quyết định -by- ) $16$ $17$ $4$ $17$ $17$ $16$ $17$ $17$ $17$
-by- KHÔNG phảilà màu mà không có hình chữ nhật đơn sắc. $18$ $19$ $4$
-by- và -by- cũng là những trường hợp chưa biết; một câu trả lời cho những điều này cũng sẽ rất thú vị $17$ $18$ $18$ $18$

Tuyên bố miễn trừ trách nhiệm: Bill Gasarch có tiền thưởng $ 288 (USD) cho câu trả lời tích cực cho câu hỏi này; bạn có thể tiếp cận anh ấy thông qua blog của anh ấy. Một lưu ý về nghi thức: Tôi sẽ đảm bảo anh ấy biết nguồn gốc của bất kỳ câu trả lời đúng nào (nếu có nên phát sinh).

Anh ấy đã đưa nó lên một lần nữa trong một phiên thảo luận tại Barrier II, và tôi thấy nó rất thú vị, vì vậy tôi đang chuyển tiếp câu hỏi ở đây (không có kiến thức của anh ấy; mặc dù tôi rất nghi ngờ anh ấy sẽ bận tâm).

— Daniel Apon
nguồn

11

Chỉ muốn thêm một số tài liệu tham khảo / con trỏ: ngoài các bài đăng trên blog [1,2], các bản cập nhật tại blog của người chơi bit [3,4] rất chi tiết và sâu sắc. Đã có thảo luận đáng kể về tất cả các bài viết này. [1]: blog.computationalcomplexity.org/2009/11/ [[]]: blog.computationalcomplexity.org/2009/12/ [[]]: bit-player.org/2009/the-17x17-challenge [4] : bit-player.org/2009/17-x-17-a-nonproTHER-report Lưu ý: Không có định dạng đánh dấu trong nhận xét? Làm thế nào tôi có thể tạo liên kết đẹp?

— Neeldhara

Đó là một số liên kết tuyệt vời. Cảm ơn Neeldhara! :)

— Daniel Apon

Tương tự như vậy, cảm ơn bạn đã đăng bài này ở đây - Tôi đã theo dõi những phát triển về điều này một thời gian, và điều này sẽ khơi dậy mối quan tâm trong vấn đề!

— Neeldhara

2

@Moron: Có, bạn chỉ cần xem xét những hình chữ nhật có cạnh song song với trục. BTW, cũng có một góc độ lý thuyết phức tạp cho vấn đề này: Bill đã suy đoán rằng việc đưa ra một phần k màu của một m bởi n lưới, xác định xem màu có thể được hoàn thành theo cách không có hình chữ nhật là hoàn thành NP hay không.

— Kurt

2

Nhóm tự động hóa của vấn đề là lớn:

đối xứng bảo toàn giải pháp, đếm sự hoán đổi cột hàng, hoán vị của màu sắc, hoán vị của các hàng và hoán vị của các cột. Được biết có bao nhiêu tập con không có hình chữ nhật riêng biệt có kích thước

?

2 \times 4! \times (17!)^{2} = 6.1 \times 10^{30}

$2\times 4! \times(17!)^2=6.1\times 10^{30}$

71, 72, 73, . . .

$71,72,73,...$

— mjqxxxx

23

Một số bạn có thể nhận thức được điều này, nhưng vấn đề tô màu 17 x 17 đã được giải quyết bởi Bernd Steinbach và Christian Posthoff. Xem bài viết trên blog của Gasarch tại đây .

— Lev Reyzin
nguồn

8

Ngoài ra, lưới 18x18 có thể 4 màu mà không có hình chữ nhật đơn sắc ... bây giờ, "ô còn thiếu" duy nhất là lưới 21x12

— Marzio De Biasi

13

Đây thực sự không phải là một câu trả lời cho câu hỏi, nhưng tôi đã mã hóa bài toán 4 màu 17x17 dưới dạng 4-CNF (ở định dạng DIMACS tiêu chuẩn cho người giải SAT) và tải nó lên đây . Nếu bất cứ ai có quyền truy cập vào một bộ giải SAT tốt (và siêu máy tính!) Có lẽ chúng ta có thể đạt được một số tiến bộ.

Lưu ý: trong mã hóa của tôi, nếu điểm lưới được gán màu , thì biến lấy giá trị và nếu không . $(i,j)$ $c \in \{0,1,2,3\}$ $(17i+j+289c+1)$ $1$ $0$

— Lev Reyzin
nguồn

3

Tuyệt vời. (Tôi thực sự có quyền truy cập vào một siêu máy tính.) Các số chạy tiếp theo của bước tiếp theo để ước tính thời gian chạy của thứ này trên máy cụ thể. Ai biết nếu điều này là trong sân bóng hợp lý, nhưng đó là một cách tiếp cận khác tôi đã xem xét. Bây giờ, đã đến lúc tìm câu hỏi gần đây về người giải SAT để tôi có thể đọc lên ... :)

— Daniel Apon

Hóa ra vấn đề tôi nghĩ đến là về #SAT, vì vậy tôi đã bắt đầu một câu hỏi mới về người giải SAT tại cstheory.stackexchange.com/questions/1719/ (

— Ap Ap Daniel

Tuyệt vời - hãy cho tôi biết làm thế nào nó đi!

— Lev Reyzin

4

@Lev, chỉ là một bản cập nhật ngẫu nhiên: nó xuất hiện thời gian chạy của 17x17, ngay cả khi sử dụng siêu máy tính tốt nhất có thể và bộ giải SAT thực sự nhanh, vẫn còn là thiên văn. Điểm cộng: xuất hiện trong phạm vi lý do để tấn công điều này bằng siêu máy tính theo cách được nhắm mục tiêu, tức là tìm các phần 1 màu chính xác sẽ hoạt động (đã được Beth Kupkin thực hiện tại Rutgers), sau đó tìm phần 2 chính xác -những màu sắc sẽ hoạt động từ đó, v.v ... Mặt trái: không có "giải pháp nhanh"; nó sẽ phải là một dự án dài hạn với nhiều giai đoạn thực hiện siêu máy tính

— Daniel Apon

1

@Joe, tuy nhiên! Dưới đây là một "bảng xếp hạng" của các màu gần đúng nhất hiện tại: Bảng dẫn - Nó xuất hiện mô phỏng ủ hoạt động khá tốt để tìm màu gần đúng.

— Daniel Apon

4

Đây cũng không phải là một câu trả lời thực sự. Chắc chắn vấn đề ở đây là sự hiện diện của một số lượng đối xứng thiên văn, đánh lừa cả những người giải SAT tốt nhất trên các siêu máy tính tốt nhất. Các đối xứng như vậy ánh xạ các giải pháp cho các giải pháp và không giải pháp cho các giải pháp không: trong trường hợp này có lẽ có một số lượng lớn các giải pháp (nghĩa là các bài tập thỏa mãn tất cả trừ một số mệnh đề nhỏ), mỗi mệnh đề có thể đạt được áp dụng một đối xứng thích hợp. Do đó, người giải quyết lãng phí một lượng lớn thời gian để thử từng giải pháp gần như này, trong khi theo một nghĩa nào đó thì tất cả đều giống nhau.

Khai thác các đối xứng (xem bài viết này ) nên là một con đường để khám phá để tấn công vào trường hợp 17x17 khó khăn này và thực hiện một số tiến bộ về nó. Tôi tự hỏi nếu có ai đã cố gắng để làm như vậy.

— Giorgio Quayani
nguồn

Này, thật là ngọt ngào! :) Chưa từng thấy nó trước đây.

— Daniel Apon

@Daniel: Bạn được chào đón! ;-) Hy vọng nó giúp.

— Giorgio Camerani

Tôi đã sử dụng chương trình "Shatter" của Aloul trên nhiều bảng mã của vấn đề 17x17 và đặt một vài tuần CPU vào một vài bộ giải SAT khác nhau và không gặp may. Bài báo mà Walter tham khảo thực sự là bài đầu tiên trong số có thể một tá hoặc một cái gì đó anh ta viết về chủ đề này, vì vậy có thể có một cái gì đó trong đó sẽ thực hiện công việc, nhưng nó không có quả treo thấp.

— Jay Kominek

3

Một lần nữa, không phải là một câu trả lời thực sự, nhưng dù sao, đây là một số suy nghĩ về việc áp dụng thuật toán tô màu đồ thị cho vấn đề này.

$I$ $I$

$n$ $m$ $k$
$n$ $m$ $k$
$n$ $m$ $k$

$\log k\ \text{poly}(nm)2^{nm}$ $k^{mn}$ $2^{289}$

Nếu họ của tất cả các tập độc lập (tối đa) có cấu trúc đủ đẹp, thì cũng có thể điều chỉnh thuật toán bao phủ sản phẩm.

— Janne H. Korhonen
nguồn

Yêu cầu 3 tương đương với yêu cầu 2 như thế nào? Nhân tiện, bộ độc lập tối đa cho 17x17 có kích thước 74, như thể hiện trong bài viết của Elizabeth Kupin (pdf) . Chỉ có một bộ như vậy, không tính các hoán vị của các hàng và cột là khác biệt.

— Null Set

Tôi có nghĩa là tối đa theo nghĩa là không có superset thích hợp là độc lập, vì nó là thông lệ trong khoa học máy tính. Maximum là từ thường được sử dụng khi có nghĩa là "có kích thước lớn nhất có thể".

— Janne H. Korhonen

Trong trường hợp đó, tập hợp các tập độc lập tối đa chứa tất cả các hoán vị hàng / cột của tập kích thước 74 duy nhất và không có tập hợp độc lập kích thước 73, vì tất cả chúng đều là tập hợp con của tập kích thước 74. Tôi không chắc nó có gì từ cỡ 67 đến 72.

— Null Set

3

Lưới 21x12 cũng có 4 màu mà không có hình chữ nhật đơn sắc !!!

Xem bài đăng cuối cùng của Bernd Steinbach trên blog của Gasarch !

— Marzio De Biasi
nguồn

-4

Đây là Bill Bouris. Chào, Dân. Tôi đang làm việc trên một chương trình tìm kiếm ma trận 17x17 phù hợp, thể hiện màu 4 không theo lý thuyết của Ramsey. Tôi sử dụng một ma trận vị trí mô tả tất cả các kết nối giữa các điểm và sửa đường chéo chính và cho phép hàng trên cùng của ma trận chạy qua tất cả các kết hợp 16choose8 có thể; Tôi chỉ chụp các ma trận vượt qua các tiêu chí sau ... no-XRRR, no-RXRR, no-RRXR, no-RRRX, no-XBBB, no-BXBB, v.v., sau đó tôi quét qua ma trận bằng cách sử dụng tiếp theo tiêu chí yếu nhất ... no-XBRR, noBXRR, no-BBXR, no-BBRX, no-XRBB, no-RXBB, v.v. cho tổng số 32 lần quét cho đến khi máy tính tự động tô màu. Tôi đã nhận thấy rằng có một ứng cử viên có thể có trên mỗi 400 ma trận trong tổng số 12780, và phải mất 0,95 giờ để tìm ra ứng cử viên hoặc 1 cho mỗi 8. 644 giây. Nó sẽ xuất hiện, nhưng tôi không có nhiều thời gian để lập trình nó ... vì tôi làm việc toàn thời gian. Chúng ta nên làm việc cùng nhau ... Tôi có thể sử dụng $ 288,00!

— William Bouris
nguồn

Bill Gasarch chỉ nên trả 128 đô la.

— William Bouris

xin lỗi về điều đó ... 272/2 hoặc 136 đô la

— William Bouris

4

Đây không phải là một câu trả lời cho câu hỏi. tốt nhất như một bình luận.

— Suresh Venkat