Phân vùng không có H

Đây là một câu hỏi lấy cảm hứng từ vấn đề cắt H-free . Cho một đồ thị, một phân vùng của đỉnh thiết lập của nó vào r phần V 1 , V 2 , ... , V r là H -miễn phí nếu G [ V i ] không tạo ra một bản sao của H cho tất cả i , 1 ≤ i ≤ r .$V$$r$$V_1, V_2, \ldots, V_r$$H$$G[V_i]$$H$$i$$1 \leq i \leq r$

Tôi muốn xem xét câu hỏi sau đây:

Ít nhất mà tồn tại phân vùng H -free thành các phần r là gì?$r$$H$$r$

Lưu ý rằng khi là một cạnh đơn, thì số tiền này sẽ tìm thấy số màu và đã hoàn thành NP. Tôi tự hỏi liệu có dễ dàng hơn để hiển thị tính đầy đủ NP cho bất kỳ H cố định nào cho vấn đề này không (dễ dàng hơn, so với việc hiển thị nó cho cắt H -free). Tôi thậm chí nghĩ rằng nó có thể rõ ràng, nhưng tôi đã không đi đến đâu. Hoàn toàn có thể tôi đang thiếu một cái gì đó khá đơn giản và nếu đây là trường hợp, tôi đánh giá cao một số gợi ý! $H$$H$$H$

Các tài liệu tham khảo sớm nhất mà tôi biết về loại vấn đề này như sau. Những điều này cũng được đề cập đến trong bài báo Cowen, Goddard và Jesurum mà tôi đã đề cập trong các chủ đề khác.

Andrew và Jacobson. (1985) Về tổng quát hóa số màu. Trong Proc. Hội nghị quốc tế Đông Nam lần thứ 16 về Kết hợp, Lý thuyết đồ thị và Điện toán (Boca Raton 1985), Congr. Số. 47 33 bóng48.

Cowen, Cowen và Woodall. (1986) Màu sắc khiếm khuyết của đồ thị trong các bề mặt: Phân vùng thành các sơ đồ con của hóa trị giới hạn. J. Lý thuyết đồ thị 10 187 195.

Harary. (1985) Màu sắc có điều kiện trong đồ thị. Trong đồ thị và ứng dụng (Boulder 1982), Interscience của Wiley, trang 127 sản136.

Harary và Jones (nee Fraughnaugh). (1985) Khả năng tạo màu có điều kiện II: Các biến thể lưỡng cực. Trong Proc. Hội nghị Sundance về kết hợp và chủ đề liên quan (Sundance 1985), Congr. Số. 50 205 con218.

AFAIK, chưa có một bài báo đưa ra sự phân đôi P / NP-c rõ ràng cho các lựa chọn khác nhau của H. Điều này đã được thực hiện, mặc dù, bởi Hell và Nesetril, cho một kiểu khái quát khác của số màu, "H-colorings ", Đồng hình.

Trong "Phân vùng Vertex thành thuộc tính di truyền phụ gia cố định là NP-hard", Alastair Farrugia chứng minh rằng nếu và F 2 là hai họ đồ thị được kết nối, thì vấn đề phân vùng đồ thị thành hai phần một trong số đó là F 1 -free và F 2 -free khác là NP-hard, ngoại trừ khi cả F 1 và F 2 đều có cạnh đơn.$F_1$$F_2$$F_1$$F_2$$F_1$$F_2$

(F-free = {cho tất cả H trong F, H-free})

Xem www.combinatorics.org/Volume_11/PDF/v11i1r46.pdf