Một ma trận như vậy có thể tồn tại?

Trong quá trình làm việc tôi đã gặp phải vấn đề sau:

Tôi đang cố gắng tìm một $n \times n$ $(0,1)$ -matrix $M$ , với mọi $n > 3$ , với các thuộc tính sau:

Yếu tố quyết định của $M$ là chẵn.
Đối với bất kỳ tập con không rỗng $I,J\subseteq\{1,2,3\}$ với $|I| = |J|$ , Các submatrix $M^I_J$ có yếu tố quyết định kỳ lạ khi và chỉ khi $I=J$ .

Dưới đây $M^I_J$ biểu thị submatrix của $M$ tạo ra bằng cách loại bỏ các hàng với chỉ số trong $I$ và các cột với các chỉ số trong $J$ .

Cho đến nay, tôi đã cố gắng tìm một ma trận như vậy thông qua lấy mẫu ngẫu nhiên nhưng tôi chỉ có thể tìm thấy một ma trận có tất cả các thuộc tính ngoại trừ ma trận đầu tiên , tức là ma trận luôn có một định thức lẻ. Tôi đã thử các kích thước khác nhau và các bộ đầu vào / đầu ra khác nhau mà không thành công. Vì vậy, điều này làm tôi suy nghĩ:

Là có một sự phụ thuộc giữa các yêu cầu, điều đó ngăn cản chúng đồng thời đúng?

hoặc là

Có thể là một ma trận như vậy tồn tại và ai đó có thể cho tôi một ví dụ?

Cảm ơn, Etsch

— Etsch
nguồn

bạn có nghĩa là tập con ngẫu nhiên hoặc bất kỳ tập hợp con?

— Suresh Venkat

det (M_{o_{1}}^{i_{1}}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{i_1}_{o_1}) \equiv 1 \pmod{2}$

det (M_{o_{2}}^{i_{1}}) \equiv 0 (\mod 2)

$\det(M^{i_1}_{o_2}) \equiv 0 \pmod{2}$

o_{1}

$o_1$

o_{2}

$o_2$

{o_{1}, o_{2}, o_{3}}

$\{o_1,o_2,o_3\}$

{i_{1}, i_{2}, i_{3}}

$\{i_1,i_2,i_3\}$

Có, hai tập hợp con và được sửa. Ví dụ: người ta có thể đặt , , và , , và sau đó câu hỏi là: Có ma trận (7x7) sao cho , , , v.v., theo 20 thuộc tính được xác định.

I = {i_{1}, i_{2}, i_{3}}

$\mathcal{I} = \{i_1,i_2,i_3\}$

O = {o_{1}, o_{2}, o_{3}}

$\mathcal{O} = \{o_1,o_2,o_3\}$

n = 7

$n=7$

i_{1} = 1

$i_1 = 1$

i_{2} = 2

$i_2 = 2$

i_{3} = 5

$i_3 = 5$

o_{1} = 2

$o_1 = 2$

o_{2} = 3

$o_2 = 3$

o_{3} = 4

$o_3 = 4$

M

$M$

det (M) \equiv 0 (\mod 2)

$\det(M) \equiv 0\pmod{2}$

det (M_{2, 3, 4}^{1, 2, 5}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{1,2,5}_{2,3,4}) \equiv 1 \pmod{2}$

det (M_{2, 3}^{1, 2}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{1,2}_{2,3}) \equiv 1\pmod{2}$

— Etsch

Bạn không thể sửa , , , , , để đơn giản hóa câu hỏi và để dễ đọc hơn?

i_{1} = 1

$i_1 = 1$

i_{2} = 2

$i_2 = 2$

i_{3} = 3

$i_3 = 3$

o_{1} = 1

$o_1 = 1$

o_{2} = 2

$o_2 = 2$

o_{3} = 3

$o_3 = 3$

— Jukka Suomela

Chỉnh sửa cho rõ ràng.

— Jeffε

Không có ma trận như vậy tồn tại.

Danh tính Desnanot-Jacobi nói rằng đối với , nên sử dụng này, chúng tôi nhận được Nhưng các yêu cầu của bạn buộc phía bên trái phải là 0 (mod 2) và phía bên phải là 1 (mod 2), cho thấy chúng không tương thích. $i \neq j$

det M_{i j}^{i j} det M = det M_{i}^{i} det M_{j}^{j} - det M_{i}^{j} det M_{j}^{i}

$\det M_{ij}^{ij} \det M = \det M_i^i \det M_j^j -\det M_i^j \det M_j^i$

phát hiện M_{12}^{12} phát hiện M = = phát hiện M_{1}^{1} phát hiện M_{2}^{2} - phát hiện M_{1}^{2} phát hiện M_{2}^{1}

$\det M_{12}^{12} \det M = \det M_{1}^{1} \det M_{2}^{2} - \det M_{1}^{2} \det M_{2}^{1}$

— Peter Shor
nguồn

Đẹp! Tuy nhiên, bây giờ tôi bối rối vì người hỏi nói rằng viên đạn thứ hai trong câu hỏi có thể được thỏa mãn, điều này thực sự mâu thuẫn với danh tính mà bạn trích dẫn.

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: viên đạn thứ hai mâu thuẫn với danh tính như thế nào? Ma trận danh tính thỏa mãn viên đạn thứ hai, và thật dễ dàng để kiểm tra xem thỏa mãn danh tính Desnanot-Jacobi không. (Trừ khi bạn dùng , vi phạm một điều kiện trong danh tính mà tôi vừa thêm vào câu trả lời của mình.)

I

$I$

I

$I$

i = j

$i = j$

— Peter Shor

Xin lỗi, nhận xét trước đây của tôi là không có thật, và dường như tôi bối rối hơn tôi nghĩ. Tại sao yêu cầu trong câu hỏi buộc phía bên trái của phương trình thứ hai trong câu trả lời của bạn là 0 mod 2?

— Tsuyoshi Ito

Bây giờ tôi hiểu ý của bạn. Bạn không phải xóa hàng đầu tiên và cột đầu tiên.

— Tsuyoshi Ito

@Etsch: Tôi đã suy nghĩ khi tôi viết . Tôi nghĩ bây giờ đã đúng.

M

$M$

M_{1, 2, 3}^{1, 2, 3}

$M^{1,2,3}_{1,2,3}$

— Peter Shor