Vị thành niên bị cấm đối với đồ thị treewidth giới hạn

Câu hỏi này tương tự như một trong những câu hỏi trước đây của tôi. Được biết, là một thứ yếu bị cấm đối với đồ thị của treewidth nhiều nhất là .$K_{t+2}$$t$

Có một nhóm đồ thị vô tận được xây dựng, tham số hóa, vô hạn (không phải là đồ thị hoàn chỉnh và đồ thị lưới) là các vị thành niên bị cấm tối thiểu đối với các đồ thị của mỗi treewidth. Nói cách khác, có một biểu đồ rõ ràng trên các đỉnh (không phải là một biểu đồ hoàn chỉnh) sao cho là phần phụ bị cấm đối với các biểu đồ của treewidth nhiều nhất , trong đó là hàm của ? r G r r r $G_r$$r$$G_r$$r$$r$$t$

Các bộ hoàn chỉnh của trẻ vị thành niên bị cấm được biết đến với đồ thị của treewidth nhiều nhất là ba. Xem bài viết Wikipedia này để biết thêm chi tiết.

Là tập hợp đầy đủ các vị thành niên bị cấm của đồ thị của treewidth nhiều nhất là bốn?

Nếu G được hình thành từ một đồ thị H nhỏ hơn không phải là một cụm bằng cách thêm hai đỉnh x và y, sao cho x và y không liền kề nhau mà liền kề với tất cả các đỉnh khác của G, thì . Vì, trong bất kỳ sự phân rã cây nào của G , x và y đều có các cây con khác nhau hoặc chúng có các cây con chồng chéo. Nếu chúng có các cây con khác nhau, tất cả các cây con khác phải bao gồm đường đi ngắn nhất giữa các cây cho x và y , từ đó theo đó treewidth là n - $tw(G)=tw(H)+2$$G$$x$$y$$x$$y$$n-2$; giả định rằng là không phải là một bè lũ có thể sau đó được sử dụng để chứng minh rằng n - 2 ≥ t w ( H ) + 2 . Ngoài ra, nếu x và y có các cây con chồng chéo, mọi đỉnh khác phải có một cây con chạm vào giao điểm của hai cây con của x và y , và chúng ta có thể hạn chế phân rã cây đến giao điểm đó, tạo ra sự phân rã cây trong đó x và y tham gia vào mọi nút cây.$H$$n-2\ge tw(H)+2$$x$$y$$x$$y$$x$$y$

Điều này ngụ ý rằng đồ thị hyperoctahedral với 2 k nút là trẻ vị thành niên bị cấm tối thiểu cho chiều rộng 2 k - 3 . Đối với, đồ thị bát diện K 2 , 2 , 2 là đồ thị nhỏ bị cấm tối thiểu cho chiều rộng ba, từ đó đối số ở trên cho thấy đồ thị siêu khối có chiều rộng 2 k - $K_{2,2,2,\dots}$$2k$$2k-3$$K_{2,2,2}$$2k-2$. Và nếu bất kỳ sự co rút cạnh hoặc xóa cạnh nào được thực hiện trong biểu đồ hyperoctah thờ, các đối xứng của biểu đồ cho phép chúng ta giả sử rằng hoạt động đang xảy ra với một trong mười hai cạnh trong khối tám mặt cơ sở, gây ra chiều rộng và chiều rộng của tất cả các hyperoctahedra xây dựng từ nó để giảm.

(Lớp biểu đồ khác mà bạn nên đưa vào câu hỏi của mình cùng với biểu đồ hoàn chỉnh là biểu đồ lưới. Lưới có treewidth r . Nó tách biệt với các biểu đồ nhỏ hoàn chỉnh vì mặt phẳng của nó và do đó không có phần phụ hoàn chỉnh với nhiều hơn hơn bốn đỉnh. Tuy nhiên, đó không phải là một thứ yếu bị cấm tối thiểu, bởi vì một số thay đổi nhỏ (chẳng hạn như ký kết các đỉnh góc) không thay đổi treewidth của nó.)$r\times r$$r$

Trong các chướng ngại vật thưa thớt và xác định treewidth chính xác , Lucena tuyên bố rằng trong luận án tiến sĩ của Sanders , "75 trẻ vị thành niên bị cấm tối thiểu cho treewidth được đưa ra, và người ta tin rằng điều này có thể tạo thành toàn bộ vật cản."$\leq 4$