Có cách nào để liên kết định lý tối đa của Berge với định lý Phong bì không?

8

Định lý của Berge

Đặt , là một hàm liên tục chung, là một liên tục (cả hai Tương ứng giá trị nhỏ gọn trên và dưới không liên tục) Hàm giá trị tối đa và tối đa hóa là Sau đó liên tục và là thượng lưu không liên tục. $X \in \mathbb R^m, \Theta \in \mathbb R^n$ $f : X \times \Theta \to \mathbb R$ $C : \Theta \rightrightarrows X$
$V (θ) := max_{x \in X} f (x, θ)$ $V(\theta) := \max_{x \in X}f(x, \theta)$ $C^{*} (θ) := {x \in C (θ) ∣ f (x, θ) = V (θ)}$ $C^\ast(\theta):=\{x \in C(\theta) \mid f(x, \theta )=V(\theta)\}$ $V : \Theta \to \mathbb R$ $C^\ast :\Theta \rightrightarrows X$

Theo Phân tích kinh tế vi mô của Varian (1992), trang 490, định lý phong bì chỉ đơn giản là:

$\frac{d M (a)}{d a} = \frac{\partial f (x, a)}{\partial a} ∣_{x = x (a)}$ $\frac{dM(a)}{da}=\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\mid_{x=x(a)}$

$x(a)$ là tối đa hóa của $f(\cdot, a)$ .

Dường như đối với tôi định lý Phong bì đòi hỏi định lý của Berge, nhưng đạo hàm có vẻ đơn giản hơn. Có một mối quan hệ giữa hai?

mathematical-economics academic-graduate optimization

— Sử thi
nguồn

Có vẻ như cả hai không bận tâm đến cùng một mục tiêu. Berge's thiết lập các thuộc tính của hàm giá trị và của tập hợp tối đa hóa. Phong bì liên quan đến việc hiển thị ảnh hưởng của việc thay đổi một tham số là gì ... có lẽ bạn có thể giải thích về loại kết nối giữa hai thứ gây tò mò cho bạn.

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos Xin lỗi vì sự mơ hồ trong câu hỏi của tôi. Bây giờ tôi phát hiện ra nhiệm vụ này xuất phát từ ký ức mơ hồ của tôi về mệnh đề 2 trong Lucas (1978). Bây giờ tôi có thể xây dựng nó chính xác hơn. Loại điều kiện nào về hàm và ràng buộc cho phép chúng ta chỉ áp dụng định lý đường bao sau khi chúng ta thiết lập tính liên tục của hàm giá trị theo định lý Berge? people.hss.caltech.edu/~pbs/Exfinance/Readings/Lucas1978.pdf

— Epicurus

Tôi không nghĩ bạn nhất thiết phải "thiết lập tính liên tục của hàm giá trị" để sử dụng định lý đường bao. Nó nghĩ rằng phần quan trọng là điểm về điều khiển . Xem Định lý 2 trên trang Wikipedia. Ở đó, tính liên tục của V là kết quả. Trong mọi trường hợp, trang Wikipedia nêu các định lý đầy đủ. Nó sẽ cho bạn biết những gì bạn cần giả định để sử dụng định lý. vi.wikipedia.org/wiki/En

C^{*}

$C^*$

— phong_theorem

6

Chúng có liên quan và thường rơi vào cùng một cuộc thảo luận, nhưng như @Alecos đề cập trong các bình luận, hai định lý cho thấy những điều khác nhau.

Tôi cho rằng kết nối mà bạn theo đuổi là thực tế là nếu đạo hàm , sau đó bởi vì tính khác biệt ngụ ý tính liên tục, bạn có thể có được một phần của định lý về mức tối đa của nó. Tuy nhiên, để so sánh và đối chiếu hai định lý, bạn không chỉ nhìn vào kết quả. Bạn cần phải xem xét các giả định là tốt. Ví dụ, định lý tối đa không giả sử bất kỳ loại khác biệt nào. Định lý đường bao làm (ít nhất là một số dạng của nó). Trong mọi trường hợp, các giả định đi vào mỗi khác nhau (một số mạnh hơn, một số yếu hơn).

{\frac{\partial f (x, a)}{\partial a} |}_{x = x (a)}

$\left .\frac{\partial f(x, a)}{\partial a} \right |_{x=x(a)}$

Ngoài ra, có điều này. Định lý đường bao không cho bạn biết bất cứ điều gì về hàm điều khiển. Do đó, bạn chắc chắn sẽ không thể có được kết quả rằng là không liên tục trên. $C^*$

— jmbejara
nguồn

4

Trích dẫn OP từ một bình luận

Loại điều kiện nào về hàm và ràng buộc cho phép chúng ta chỉ áp dụng định lý đường bao sau khi chúng ta thiết lập tính liên tục của hàm giá trị theo định lý Berge? people.hss.caltech.edu/~pbs/Exfinance/Readings/Lucas1978.pdf

Trong tài liệu tham khảo Lucas (1978), Dự luật 1 xác định rằng

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Trong đó là hàm giá trị và là định nghĩa của nó. Vì vậy, có vẻ như đó là tính liên tục của hàm Giá được gọi là điều kiện ở đây, nhưng trước đó trong bài viết, Lucas định nghĩa hàm Utility là một hàm không âm. $v(z,y;p)$ $(i)$

liên tục khác biệt, giới hạn, tăng và lõm nghiêm ngặt

Dự luật 2 của bài viết thiết lập tính khác biệt của hàm giá trị, mà không yêu cầu các giả định tiếp theo.

— Alecos Papadopoulos
nguồn