Là ác cảm rủi ro gây ra giảm tiện ích cận biên, hoặc ngược lại?

Đặt $A$ là tập hợp các trạng thái có thể có của thế giới hoặc các sở thích có thể có của một người. Hãy để $G(A)$ là tập hợp của "canh bạc" hoặc "xổ số", tức là tập hợp các phân bố xác suất trên $A$ . Sau đó, mỗi người sẽ có một thứ tự ưu tiên của các trạng thái trong $A$ , cũng như thứ tự ưu tiên của xổ số trong $G(A)$ . Định lý von Neumann-Morgenstern nói rằng, giả sử thứ tự ưu tiên của bạn trên $G(A)$ tuân theo các tiên đề hợp lý nhất định, các ưu tiên của bạn có thể được biểu diễn bằng hàm tiện ích $u: A → ℝ$ . (Chức năng này lên độc đáo với phép nhân của vô hướng và bổ sung các hằng số.) Điều đó có nghĩa rằng hai xổ số bất kỳ và trong , bạn thích để khi và chỉ khi giá trị kỳ vọng của dưới lớn hơn giá trị mong đợi của dưới . Nói cách khác, bạn tối đa hóa giá trị mong đợi của chức năng tiện ích. $L_1$ $L_2$ $G(A)$ $L_1$ $L_2$ $u$ $L_1$ $u$ $L_2$

Bây giờ chỉ vì bạn tối đa hóa giá trị mong đợi của chức năng tiện ích của bạn không có nghĩa là bạn tối đa hóa giá trị mong đợi của những thứ thực tế như tiền. Rốt cuộc, mọi người thường không thích rủi ro; họ nói "một con chim trong tay đáng giá hai con trong bụi rậm". Lo ngại rủi ro có nghĩa là bạn đánh giá một canh bạc ít hơn giá trị dự kiến của số tiền bạn sẽ kiếm được. Nếu chúng ta biểu thị khái niệm này theo hàm tiện ích von Neumann-Morgenstern, chúng ta sẽ nhận được kết quả sau thông qua sự bất bình đẳng của Jensen: một người không thích rủi ro nếu và chỉ khi chức năng tiện ích của họ là chức năng lõm của tiền của bạn, tức là mức độ mà bạn không thích rủi ro giống như mức độ mà bạn có một tiện ích cận biên giảm dần. (Xem trang 13 của bản PDF này .)

Câu hỏi của tôi là, hướng nhân quả chạy theo hướng nào? Các giá trị của hàm tiện ích von Neumann-Morgenstern có phản ánh cường độ của sở thích của bạn không và có ác cảm rủi ro do giảm giá ưu đãi của những người trong tương lai tốt hơn so với sở thích của các phiên bản tương lai của người nghèo hơn và do đó giá trị nhiều tiền hơn (như Brad Delong gợi ý ở đây )? Hoặc nguyên nhân có chạy theo cách khác: khả năng chịu đựng rủi ro của bạn có xác định hình dạng của chức năng tiện ích của bạn không, để chức năng tiện ích von Neumann-Morgenstern không cho bạn biết gì về cường độ tương đối của sở thích của bạn?

— Keshav Srinivasan
nguồn

Câu trả lời:

Tôi nghĩ rằng tôi đã tìm thấy câu trả lời cho câu hỏi của mình, trong đoạn trích từ bài viết đoạt giải Nobel John C. Harsanyi năm 1994 "Tính hợp lệ và ý nghĩa của các tiện ích von neumann-morgenstern", được trình bày tại Đại hội Logic, Phương pháp và Triết học quốc tế lần thứ 9 Khoa học. Harsanyi bắt đầu bằng cách chứng minh bổ đề tương tự mà Alecos đã chứng minh trong câu trả lời của mình, cụ thể là nếu là hàm tiện ích vNM của một cá nhân, thì $u$ $u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$ nếu và chỉ khi họ muốn có 5 đô la được bảo đảm so với 50% của 10 đô la và 50% cơ hội là 0 đô la. Trong phần bình luận tôi đã nói rằng không đủ để chứng minh rằng hàm tiện ích vNM đại diện cho cường độ ưu tiên, bởi vì điều gì xảy ra nếu niềm vui và nỗi đau thực sự của cá nhân được mô tả chính xác bởi một số chức năng tiện ích khác , đó là một phép biến đổi đơn điệu nhưng không phải là phép biến đổi affine của ? Trong trường hợp đó, không thể đáp ứng thuộc tính giá trị mong đợi và không thể ? $v$ $u$ $v$ $v(10) - v(5) = v(5) - v(0)$

Harsanyi có một lập luận thông minh đối phó với vấn đề này. Đặt là xổ số mà bạn nhận được 5 đô la được đảm bảo, hãy để là xổ số nơi bạn có 50% cơ hội 10 đô la và 50% cơ hội 0 đô la và hãy để là xổ số mà bạn có 50% cơ hội 10 đô la và 50% cơ hội 5 đô la. Sau đó, rõ ràng người đó thích hơn cả và . Và Harsanyi lập luận rằng được ưu tiên hơn ít hơn được ưu tiên hơn khi và chỉ khi . Đó là bởi vì trong sự lựa chọn giữa, $L_1$ $L_2$ $L_3$ $L_3$ $L_1$ $L_2$ $L_3$ $L_1$ $L_3$ $L_2$ $v(10) - v(5) < v(5) - v(0)$ $L_3$ so với , 50% thời gian họ nhận được 5 đô la và 50% thời gian họ phải đưa ra lựa chọn trong khoảng từ 10 đến 5. Tương tự trong lựa chọn giữa và , 50% thời gian họ nhận được 10 đô la, và 50% thời gian họ phải đưa ra lựa chọn trong khoảng từ 5 đến 0. $L_1$ $L_3$ $L_2$

Bây giờ đến đây, đột quỵ chính: được ưu tiên hơn khi và chỉ khi được ưu tiên hơn ít hơn được ưu tiên hơn . Do đó, được ưu tiên hơn khi và chỉ khi . Và do đó, chúng ta đi đến kết luận lớn rằng khi và chỉ khi . $L_1$ $L_2$ $L_3$ $L_1$ $L_3$ $L_2$ $L_1$ $L_2$ $v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$ $u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$ $v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$

Do đó, Harasanyi đi đến kết luận rằng hàm tiện ích vNM đại diện cho cường độ ưu tiên. Vì vậy, câu trả lời cho câu hỏi của tôi dường như là tiện ích cận biên giảm dần trong chức năng tiện ích vNM phản ánh tiện ích cận biên giảm dần thực sự khi nói đến cường độ ưu tiên, và do đó (giả sử các tiên đề vNM là đúng) thực sự là nguyên nhân gây ra rủi ro ác cảm.

Nhân tiện, trên một ghi chú bên cạnh, tôi tự hỏi liệu chúng ta có thể xác định tập hợp tất cả các hàm thỏa mãn ràng buộc mà khi và chỉ khi (và tương tự cho lớn hơn và bằng). (EDIT: Tôi đã hỏi về điều này trên Toán học . Ở đây .) $v$ $u(x) - u(y) < u(z) - u(w)$ $v(x)-v(y) < v(z) -v(w)$

— Keshav Srinivasan
nguồn

@AlecosPapadopoulos Cảm ơn! Nhưng bằng chứng này không thực sự là một trường hợp "làm việc tiên đề"; hàm không phải đáp ứng thuộc tính giá trị mong đợi nào cả.

v

$v$

— Keshav Srinivasan

@AlecosPapadopoulos Nhân tiện, tôi vừa đăng một câu hỏi khác liên quan đến lý thuyết tiện ích dự kiến mà bạn có thể quan tâm: economics.stackexchange.com/q/5304/4447

— Keshav Srinivasan

Hàm tiện ích là một đại diện của các ưu tiên, theo truyền thống được suy ra từ các lựa chọn. Tùy chọn đến trước khi tiện ích. Tôi sẽ không gọi mối liên hệ giữa tiện ích và sở thích nhân quả, chỉ là mối quan hệ toán học.

Lo ngại rủi ro (ưu tiên rủi ro) không liên quan đến chiết khấu, mà đo lường ưu tiên thời gian. Sẽ không có ý nghĩa khi nói rằng ác cảm rủi ro là do giảm giá ưu đãi của bản thân trong tương lai.

— Sander Heinsalu
nguồn

"Tôi sẽ không gọi mối liên hệ giữa mối quan hệ nhân quả và sở thích, chỉ là mối quan hệ toán học." Chà, cốt lõi của câu hỏi của tôi không phải là về việc liệu sở thích có dẫn đến các chức năng tiện ích hay không. Đây là những gì tôi đang hỏi một cách cơ bản: các giá trị của hàm tiện ích von Neumann-Morgenstern có phản ánh cường độ của sở thích hay chúng chỉ phản ánh thái độ đối với rủi ro không liên quan gì đến cường độ ưu tiên? Và nhân tiện, bằng cách giảm giá tôi không có nghĩa là giảm giá thời gian. Tôi có nghĩa là định giá các phiên bản của chính bạn trong một số tương lai có thể nhiều hơn các phiên bản trong tương lai khác.

— Keshav Srinivasan

Các đại diện tiện ích dự kiến của các sở thích là duy nhất cho đến tăng nghiêm ngặt các phép biến đổi affine. Giá trị tiện ích không có ý nghĩa, chỉ có thứ hạng của chúng có ý nghĩa. Bạn có thể nhân hàm tiện ích với 2 chẳng hạn với tùy chọn không thay đổi.

— Sander Heinsalu

@KeshavSrinivasan Có lẽ cả hai đều muốn cập nhật câu hỏi / câu trả lời với thông tin bổ sung mà bạn đưa vào các bình luận ở đây. Có lẽ câu hỏi cũng được hỏi quá chính thức (và như vậy, quá dài). Tôi cảm thấy rằng tôi đã học được điều gì đó chỉ cần đọc những bình luận ở đây.

— FooBar

@SanderHeinsalu Hãy phân biệt giữa hai điều. Có thêm thông tin được truyền tải bởi sự tồn tại của chức năng tiện ích vNM, cụ thể là thông tin mà người đó thỏa mãn các tiên đề vNM. Nhưng tôi đang nói về thông tin được truyền tải bởi chính hàm vNM. Điều đó có nghĩa là, nếu x, y và z là ba phần tử cố định của A, thì đại lượng (u (x) - u (y)) / (u (y) - u (z)) thay đổi từ người này sang người khác (trong số những người thỏa mãn các tiên đề vNM), nhưng nó không khác nhau giữa các hàm tiện ích vNM khác nhau cho cùng một người. Vì vậy, số lượng này truyền tải một cái gì đó cụ thể cho một người.

— Keshav Srinivasan

Thái độ đối với rủi ro là một phần của sở thích. Vì vậy, nó chuyển tải cả thái độ đối với rủi ro và cường độ ưu tiên theo một nghĩa nào đó. Nhưng đó cũng là tiện ích độc lập với nhà nước trong vNM, được nới lỏng trong một số lý thuyết quyết định sau này. Điều này có thể được hiểu là cùng một cường độ ưu tiên cho tiêu dùng ở các trạng thái khác nhau, với toàn bộ sự khác biệt về tiện ích từ tiêu dùng ở các trạng thái khác nhau được quy định cho xác suất của các trạng thái.

— Sander Heinsalu

Thuộc tính Expected Utility không phải là thuộc tính phụ thuộc vào dạng chức năng của hàm tiện ích. Sự tồn tại của nó phụ thuộc vào việc thỏa mãn một số "tiên đề" nhất định (sẽ được mô tả chính xác hơn là "điều kiện"), liên quan đến sở thích / hành vi của con người. Chúng có thể được cung cấp một biểu thức toán học nghiêm ngặt (tốt), nhưng chúng phải được thực hiện với các tùy chọn, tức là trước khi bất kỳ hình thức chức năng nào cho chức năng tiện ích được chỉ định. Hãy xem điều đó có nghĩa là gì. Trong một bình luận, OP đã viết

"... Nếu x, y và z là ba phần tử cố định của A, thì đại lượng thay đổi tùy theo từng người ( trong số những người thỏa mãn các tiên đề vNM), nhưng nó không khác nhau giữa các hàm tiện ích vNM khác nhau cho cùng một người. Vì vậy, đại lượng này truyền tải một cái gì đó cụ thể cho một người. " $[u(x) - u(y)]/[u(y) - u(z)]$

Nó làm.

Trích dẫn từ Jehle & Renyi (2011) "Lý thuyết kinh tế vi mô nâng cao" (biên tập 3) , ch. 2 tr. 108

"Chúng tôi kết luận rằng tỷ lệ chênh lệch tiện ích có ý nghĩa vốn có liên quan đến sở thích của từng cá nhân và họ phải nhận cùng một giá trị cho mỗi đại diện tiện ích của (các mối quan hệ ưu tiên yếu). Do đó, các đại diện tiện ích của Cung cấp nhiều hơn thông tin thông thường về mặt khác, sở thích của người ra quyết định thông qua các phép biến đổi đơn điệu phù hợp, các tỷ lệ như vậy có thể giả định nhiều giá trị khác nhau. "

Trong ví dụ của họ ngay trước trích dẫn họ cho thấy rằng

\frac{[u (x) - u (y)]}{[u (y) - u (z)]} = \frac{1 - α}{α}

$\frac {[u(x) - u(y)]}{[u(y) - u(z)]} = \frac {1-\alpha}{\alpha}$

Trong đó là xác suất phản ánh sở thích mà chúng ta đang lập mô hình. Trích dẫn lại (trang 107) $\alpha$

"Lưu ý rằng số xác suất được xác định bởi và là sự phản ánh của sở thích của người ra quyết định. Đó là một số có ý nghĩa. Người ta không thể nhân đôi số đó, thêm hằng số vào nó hoặc biến đổi nó theo bất kỳ cách nào mà không thay đổi sở thích mà nó được liên kết. " $\alpha$

Và là tỷ lệ cược (không phải là "tỷ lệ cược"). $(1-\alpha)/\alpha$

Vì vậy, đây là: một chức năng tiện ích vNM được liên kết với các tỷ lệ cược có thể đặc trưng cho sở thích của một người.

ĐỊA CHỈ
Sau khi trao đổi ý kiến và suy nghĩ thú vị nhưng quá dài trong các nhận xét với OP, tôi quyết định nâng cao câu trả lời này bằng một ví dụ, để cho thấy rằng trong bối cảnh của lý thuyết cụ thể về sở thích mà chúng ta đang thảo luận, "cường độ ưu tiên "(Như được thảo luận không chính thức ở đây) không thể tách rời khỏi" thái độ đối với rủi ro "- chúng liên kết chặt chẽ với nhau.

Giả sử rằng một cá nhân tuyên bố (vì anh ta có mọi quyền): "Sở thích của tôi là đơn điệu và tôi thích nhiều hơn ít hơn. Hơn nữa, năm euro tiếp theo sẽ cung cấp cho tôi chính xác tiện ích tương tự như năm sau chúng". Lưu ý rằng đây là cá nhân nói - chúng tôi không thể hỏi anh ta bằng việc liệu tiện ích có thể là hồng y hay không, v.v. Bắt đầu từ số 0 để thuận tiện, chúng tôi tượng trưng cho tuyên bố của anh ta là

\begin{matrix} (1) & u (10) - u (5) = u (5) - u (0) ⟹ u (5) = \frac{1}{2} u (0) + \frac{1}{2} u (10) \end{matrix}

$u(10) - u(5) = u(5) - u(0) \implies u(5) = \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) \tag {1}$

Trong bối cảnh thảo luận với OP, đây là một tuyên bố về "cường độ ưu tiên".

Tiếp theo chúng ta trình bày cho cá nhân lựa chọn này như sau: hoặc là ông có thể nhận được euro, hoặc ông có thể tham gia vào một canh bạc nơi ông sẽ nhận được euro với xác suất hoặc euro với xác suất . Cá nhân sau đó tuyên bố rằng anh ta hoàn toàn thích có được euro một cách chắc chắn. Đây là một tuyên bố tiết lộ "thái độ đối với rủi ro". $5$ $G$ $0$ $1/2$ $10$ $1/2$ $5$

Câu hỏi: Các sở thích của cá nhân này, như được mô tả bởi hai câu lệnh của anh ta, có thể được biểu diễn bằng một hàm tiện ích sở hữu Thuộc tính Tiện ích Dự kiến không?

Trả lời: Không.

Bằng chứng: Bằng tuyên bố thứ hai của mình, cá nhân tiết lộ rằng Tương đương chắc chắn của trò đánh bạc hoàn toàn dưới euro: $CE_G$ $5$

Vì vậy, chúng tôi có điều đó

\begin{matrix} (2) & E [bạn (G)] = = bạn (C E_{G}) < bạn (5) \end{matrix}

$E[u(G)] = u(CE_G) < u(5) \tag{2}$

Bây giờ để thuộc tính Dự kiến tiện ích được giữ, nó phải là trường hợp

\begin{matrix} (3) & bạn [G; p (G)] = = E [bạn (G)] = = \frac{1}{2} bạn (0) + \frac{1}{2} bạn (10) \end{matrix}

$u[G;p(G)] = E[u(G)] = \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) \tag{3}$

$(2)$

\begin{matrix} (4) & (2), (3) ⟹ \frac{1}{2} bạn (0) + \frac{1}{2} bạn (10) < bạn (5) \end{matrix}

$(2), (3) \implies \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) < u(5) \tag {4}$

$(1)$

Vì vậy, chúng tôi kết luận rằng một cá nhân có sở thích được mô tả bởi các tuyên bố trên có thể được biểu diễn bằng một hàm tiện ích sở hữu Thuộc tính Tiện ích Dự kiến.

$5$ $G$

— Alecos Papadopoulos
nguồn

\frac{u (x) - u (y)}{u (y) - u (z)}

$\frac {u(x) - u(y)}{u(y) - u(z)}$

\frac{u (10) - u (5)}{u (5) - u (0)} = \frac{1}{3}

$\frac {u(10) - u(5)}{u(5) - u(0)}= \frac{1}{3}$

G (A)

$G(A)$

@KeshavSrinivasan Nó xếp hạng cường độ, nhưng nó không đo được cường độ.

— Alecos Papadopoulos

u (10) - u (5) < u (5) - u (10)

$u(10) - u(5) < u(5) - u(10)$

5

$5$

10

$10$

3 / 4

$3/4$

0

$0$

1 / 4

$1/4$

CONTD Nếu tôi thích "cộng 5", ít hơn tôi không thích "trừ 5", sẽ không hợp lý khi nghĩ rằng, khi không chắc chắn, tôi sẽ sai hơn một chút về việc không thua 5, thay vì thắng 5 hơn? Hãy nhớ rằng, một chức năng tiện ích thể hiện ác cảm rủi ro, triển lãm cũng làm giảm tiện ích cận biên của sự giàu có. Thái độ đối với rủi ro và "cường độ ưu tiên" được liên kết rất chặt chẽ.

— Alecos Papadopoulos