Tăng trưởng ngẫu nhiên trong thời gian liên tục

Văn học: Xem Chang (1988) cho phần lý thuyết và Achdou et al. (2015) cho phần số tương ứng.

Mô hình

Hãy xem xét vấn đề tăng trưởng tối ưu ngẫu nhiên sau đây trong ký hiệu bình quân đầu người. mọi thứ đều là tiêu chuẩn ngoại trừ là gia tăng của một quá trình Wiener tiêu chuẩn, tức là . Tỷ lệ tăng dân số có nghĩa là và phương sai .

\begin{aligned} max_{c} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} u (c) d t \\ s.t. & d k = [f (k) - (n - σ^{2}) k - c] d t - σ k d z \\ c \in [0, f (k)] \\ k (0) = k_{0} \end{aligned}

$\begin{align} &\max_{c}\int^\infty_0 e^{-\rho t}u(c)dt\\ \text{s.t.}~~~& dk = [f(k) - (n-\sigma^2) k - c]dt - \sigma kdz\\ &c\in[0,f(k)]\\ &k(0) = k_0 \end{align}$

d z

$dz$

z (t) \sim N (0, t)

$z(t)\sim\mathcal{N}(0,t)$

n

$n$

σ^{2}

$\sigma^2$

Giải pháp phân tích

Chúng tôi giả sử công nghệ Cobb-Douglas

\begin{aligned} f (k) = k^{α}, α \in (0, 1) \end{aligned}

$\begin{align} f(k) = k^\alpha,\quad \alpha\in(0,1) \end{align}$

và tiện ích CRRA started

\begin{aligned} u (c) = \frac{c^{1 - γ}}{1 - γ}, γ > 1. \end{aligned}

$\begin{align} u(c) = \frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma},\quad \gamma > 1. \end{align}$ Thiết lập Hamilton-Jacobi Phương trình -Bellman (HJB-e)

started

\begin{aligned} ρ v (k) = max_{c} {\frac{c^{1 - γ}}{1 - γ} + v^{'} (k) (k^{α} - (n - σ^{2}) k - c) + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \max_c\left\{\frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma} + v'(k)(k^\alpha - (n - \sigma^2)k - c) + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}\right\} \end{align}$

Điều kiện thứ tự đầu tiên (FOC) đọc

\begin{aligned} c = v^{'} (k)^{- \frac{1}{γ}} =: π (k) \end{aligned}

$\begin{align} c = v'(k)^{-\frac{1}{\gamma}}=:\pi(k) \end{align}$ trong đó

π (\cdot)

$\pi(\cdot)$ biểu thị chức năng chính sách.

Đặt lại FOC vào HJB-e started

\begin{aligned} ρ v (k) = \frac{v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}}}{1 - γ} + v^{'} (k) k^{α} - v^{'} (k) (n - σ^{2}) k - v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}} + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \frac{v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}{1-\gamma} + v'(k)k^\alpha - v'(k)(n - \sigma^2)k - v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}. \end{align}$

Chúng tôi đoán một dạng chức năng của $v(k)$ với ( Posch (2009, eq. 41) )

\begin{aligned} v (k) = Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \Psi \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} \end{align}$

Trong đó $\Psi$ là một số hằng. Đạo hàm bậc 1 và bậc 2 của $v$ được đưa ra bởi

\begin{aligned} v^{'} (k) & = Ψ k^{- α γ} \\ v^{″} (k) & = - α γ Ψ k^{- 1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v'(k) &= \Psi k^{-\alpha\gamma}\\ v''(k) &= -\alpha\gamma\Psi k^{-1-\alpha\gamma}. \end{align}$

Sau đó, HJB-e đọc

\begin{aligned} ρ Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} = \frac{Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)}}{1 - γ} + Ψ k^{α (1 - γ)} - (n - σ^{2}) Ψ k^{1 - α γ} - Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)} - α γ Ψ k^{1 - α γ} \frac{σ^{2}}{2} \\ ⟺ & k^{1 - α γ} (\frac{ρ}{1 - α γ} + n - σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) = k^{α (1 - γ)} [1 + Ψ^{- \frac{1}{γ}} \frac{γ}{1 - γ}] \end{aligned}

$\begin{align} &\rho \Psi\frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} = \frac{\Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}k^{\alpha(1-\gamma)}}{1-\gamma} + \Psi k^{\alpha(1-\gamma)} - (n-\sigma^2) \Psi k^{1-\alpha\gamma} - \Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} k^{\alpha(1-\gamma)} - \alpha\gamma\Psi k^{1-\alpha\gamma}\frac{\sigma^2}{2}\\[2mm] \Longleftrightarrow \quad & k^{1-\alpha\gamma}\left(\frac{\rho}{1-\alpha\gamma} + n - \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right) = k^{\alpha(1-\gamma)}\left[1+\Psi^{-\frac{1}{\gamma}}\frac{\gamma}{1-\gamma}\right] \end{align}$

HJB-e được tối đa hóa là đúng nếu các điều kiện sau giữ

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) \land Ψ = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma)\quad \wedge \quad \Psi = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \end{align}$

Đặt lại vào , cuối cùng cung cấp hàm giá trị thực started $\Psi$ $v$

\begin{aligned} v (k) = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma}. \end{align}$

Tại sao không phụ thuộc vào ? $v$ $\sigma$

Vì vậy, hàm giá trị xác định và ngẫu nhiên phải giống nhau. Hàm chính sách sau đó dễ dàng được cung cấp bởi (sử dụng FOC và đạo hàm của hàm giá trị)

\begin{aligned} π (k) = (1 - \frac{1}{γ}) k^{α} . \end{aligned}

$\begin{align} \pi(k) = \left(1-\frac{1}{\gamma}\right)k^\alpha. \end{align}$

Lưu ý rằng chức năng này cũng không phụ thuộc vào . $\sigma$

Xấp xỉ số

Tôi đã giải quyết HJB-e bằng sơ đồ hướng gió. Lỗi dung sai . Trong hình bên dưới, tôi vẽ hàm chính sách để thay đổi . Với tôi đi đến giải pháp thực sự (màu tím). Nhưng với , hàm chính sách gần đúng sẽ lệch khỏi hàm chính xác. Điều này không nên xảy ra, vì không phụ thuộc vào , phải không? $\epsilon=1e-10$ $\sigma$ $\sigma\to 0$ $\sigma>0$ $\pi(k)$ $\sigma$

Bất cứ ai cũng có thể xác nhận rằng các hàm chính sách gần đúng sẽ giống nhau cho bất kỳ , vì hàm thực sự độc lập với ? $\sigma$ $\sigma$

— không biết gì
nguồn

Điều làm phiền tôi ở đây là điều kiện "iff" đầu tiên sau khi bạn viết "HJB-e tối đa hóa là đúng với các điều kiện sau": đây là mối quan hệ bình đẳng rất cụ thể phải giữ giữa tất cả các tham số của tham số mô hình -preference, tăng trưởng dân số, năng suất vốn và biến động. Tôi tự hỏi: chúng ta có thể thực sự làm việc với các hàm đoán có hiệu lực phụ thuộc vào một điều kiện rất hẹp như vậy trên các tham số không?

— Alecos Papadopoulos

Chà, ở đây tôi thực sự sửa là một hàm của bốn tham số còn lại. Vì vậy, phương trình luôn luôn đúng nếu ngoài ra, giữ. Tôi tự hỏi: có một số quy tắc khi đoán một chức năng không được phép? Ý tôi là, chúng tôi quan tâm đến việc tìm ra giải pháp thực sự và trong một số điều kiện cụ thể, chúng tôi có được giải pháp thực sự. Tôi không chắc điều gì làm phiền bạn ở đây theo quan điểm lý thuyết? Chắc chắn, nó có thể hạn chế công việc thực nghiệm, nhưng đó không phải là vấn đề ở đây. Chúng tôi khá quan tâm đến việc giải quyết HJBe và điều đó có thể được thực hiện. Nếu một người theo chủ nghĩa kinh nghiệm (1/2)

ρ = ρ (α, γ, n, σ)

$\rho = \rho(\alpha, \gamma, n, \sigma)$

ρ > 0

$\rho > 0$

— không biết gì về

ước tính và chúng tôi thấy rằng điều kiện bị vi phạm, sau đó chúng tôi có thể từ chối mô hình. Tuy nhiên, giải pháp vẫn đúng về nguyên tắc. (2/2)

{α, γ, n, ρ, σ}

$\{\alpha, \gamma,n,\rho,\sigma\}$

ρ = . . . .

$\rho = ....$

— không biết gì về

Mối quan tâm của tôi không phải là về giá trị thực nghiệm. Điều tôi băn khoăn là, đến mức độ nào thì việc đoán cụ thể về dạng chức năng của hàm giá trị phụ thuộc vào mối quan hệ này giữa các tham số. Không có tham chiếu đến bất kỳ dữ liệu thực nghiệm nào, nếu chúng ta cho rằng mối quan hệ không giữ được thì sao? Chúng ta có nên đoán một hàm giá trị thậm chí không theo cấp số nhân theo , hoặc nó có đủ để giữ cấu trúc hàm mũ nhưng thử các cách khác nhau để bao gồm các tham số trong nó không? (nhân tiện, tôi cũng đang xem xét câu hỏi chính của bạn, vì cuộc thảo luận này có lẽ là ngoại vi)

k

$k$

— Alecos Papadopoulos

Bạn có chắc chắn vấn đề tối ưu hóa được nêu chính xác? Không có, ví dụ, kỳ vọng hoạt động trên nói, ? Như đã nêu, và do đó có thể giả sử bất kỳ giá trị nào được cung cấp cho quá trình Wiener .

f (k)

$f(k)$

k

$k$

f (k)

$f(k)$

z

$z$

— Hans

Thêm một nhận xét:

Cần có một toán tử kỳ vọng trong tuyên bố của vấn đề, nếu không thì vấn đề không có ý nghĩa.

Rằng "... hàm giá trị xác định và ngẫu nhiên phải giống nhau ..." không hoàn toàn đúng. Giá trị của rất quan trọng trong hạn chế $\sigma^2$

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) . \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma). \end{align}$

Nếu , thì có lẽ cho hợp lý về mặt kinh tế và , trong trường hợp đó, vấn đề xác định có thể không được đặt ra. Điều đúng là hàm giá trị ngẫu nhiên chỉ có dạng đã cho nếu hạn chế tham số giữ. $\sigma^2 = 0$ $\rho < 0$ $\alpha$ $\gamma$

Bao gồm thuật ngữ Ito từ phía bên tay phải $\frac{1}{2} \sigma^2$

σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2}) (1 - α γ),

$\sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right) (1-\alpha\gamma),$

các hạn chế có thể được viết là

ρ + n (1 - α γ) = \frac{1}{2} σ^{2} [(1 - α γ) - (- {(1 - α γ)}^{2})] .

$\rho + n (1-\alpha\gamma) = \frac{1}{2} \sigma^2 [ (1-\alpha\gamma) - (-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2)].$

Ở phía bên tay phải, chúng tôi có độ co giãn của thuật ngữ thay thế giữa các bên và thuật ngữ không thích rủi ro . Điều hạn chế nói là, với một lựa chọn cụ thể là , chúng bù trừ cho nhau, tùy theo thời gian và drift . Do đó, hàm giá trị độc lập với . $(1-\alpha\gamma)$ $-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2$ $\sigma$ $\rho$ $n(1 - \alpha\gamma)$ $\sigma$

Hàm giá trị độc lập với là một yếu tố hạn chế và lựa chọn CRRA . Nói chung không đúng. $\sigma$ $u$

— Michael
nguồn