Đạo hàm cho ước tính tần số tự nhiên của cầu trong Eurocodes

13

Eurocodes đưa ra phương trình sau để ước tính "đối tượng cầu được hỗ trợ đơn giản chỉ uốn cong" *:

n_{0} = = \frac{17,75}{\sqrt{δ_{0}}}

$n_0 = \frac{17.75}{\sqrt{\delta_0}}$

Ở đâu

$n_0$ là tần số tự nhiên tính bằng hertz
$\delta_0$ là độ võng ở giữa nhịp dưới các hành động vĩnh viễn tính bằng mm

Phương trình dường như được rút ra từ không khí mỏng, và không có lời giải thích nào về việc hằng số 17,75 đến từ đâu. Là một kỹ sư tôi không thích sử dụng một công thức mà tôi không hiểu, nhưng hơn thế nữa sẽ rất hữu ích khi tìm hiểu các nguyên tắc cơ bản đằng sau nó để tôi có thể xem liệu nó có thể được thay đổi để làm việc với các điều kiện hỗ trợ khác hay không.

Bất cứ ai cũng có thể cung cấp một nguồn gốc / nguồn gốc cơ bản cho mối quan hệ này?

* Tham khảo đầy đủ là: EN 1991-2: 2003 6.4.4 [Lưu ý 8] (Công thức 6.3), nếu điều đó có ích.

bridges dynamics eurocodes

— thomasmichaelwallace
nguồn

1

Đây là pdf đúng, phải không?

— HDE 226868

Có - Tôi không nhận ra bạn có thể nhận Eurocodes miễn phí!

— thomasmichaelwallace

9

Nếu chúng ta đơn giản hóa toàn bộ cây cầu thành chùm mỏng 2D với kích thước tiết diện không đổi, không có giảm chấn bên trong và chỉ chịu các độ lệch dọc nhỏ, thì tần số tự nhiên được xác định bằng chuyển động điều hòa đơn giản:

n_{0} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{k}{m}}

$n_0 = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k } { m } }$

Trong đó là tần số tự nhiên, là tỷ số giữa lực phục hồi và độ võng (độ cứng của lò xo ') và là khối lượng trên một đơn vị chiều dài của chùm tia. $n_0$ $k$ $m$

Trong một chùm tia, lực phục hồi là lực cắt bên trong gây ra bởi hình dạng bị lệch. Vì lực thể hiện bởi chùm tia tỷ lệ thuận với tốc độ thay đổi của lực cắt, có liên quan đến độ cứng ( ) và tốc độ thay đổi của mô men có thể được hiển thị (lưu ý: độ võng tỷ lệ thuận với chiều dài của chùm tia ) rằng: $EI$

k = α \frac{E I}{L^{4}}

$k = \alpha \frac{ EI } { L^4 }$

Trong đó là mô đun Young của vật liệu chùm tia, là mômen quán tính thứ hai của tiết diện dầm, là chiều dài của chùm tia và là hằng số được xác định bởi các điều kiện hỗ trợ và số chế độ của đáp ứng. $E$ $I$ $L$ $\alpha$

Tất cả các tài liệu tôi đã thấy thể hiện điều này theo cách thuận tiện hơn cho phương trình tần số:

k = = {(\frac{K}{L^{2}})}^{2} (E Tôi)

$k = \left( \frac{ K }{L^2} \right)^2 (EI)$

Thay thế trở lại,

n_{0} = = \frac{K}{2 π L^{2}} \sqrt{\frac{E Tôi}{m}}

$n_0 = \frac{ K }{ 2 \pi L^2 } \sqrt{ \frac{ EI } {m} }$

Việc tính toán giá trị của khá liên quan và có một cách tiếp cận chính xác cho các giải pháp đơn giản và các phương pháp gần đúng bao gồm phương pháp năng lượng miễn phí và Raleigh Ritz. Một vài sai lệch cho một chùm được hỗ trợ đơn giản có thể được tìm thấy ở đây . $K$

Cần lưu ý rằng phương trình này là đủ, nhưng vì nó cần một bảng cho và việc tính toán giá trị đại diện cho cây cầu như một chùm tia đồng nhất, các tác giả của Eurocode dường như đã quyết định sẽ tốt hơn tích hợp lại giả định rằng không đổi dọc theo chùm tia. $K$ $EI$ $k$

Để làm điều này, họ đã sử dụng mối quan hệ sau đây:

δ_{0} = = C \frac{w L^{4}}{E Tôi}

$\delta_0 = C \frac { w L^4 } { EI }$

Trong đó là độ võng tối đa, là hằng số được quy định bởi các điều kiện hỗ trợ, là tải phân bố đều không đổi theo chiều dài của chùm tia. $\delta_0$ $C$ $w$

Dưới trọng lượng bản thân , trong đó là gia tốc do trọng lực (9810 mm / s ² ; vì độ lệch trong phương trình này được tính bằng mm ). $w = gm$ $g$

Do đó (sắp xếp lại :)

\sqrt{\frac{E Tôi}{m}} = = L^{2} \sqrt{9810} \frac{\sqrt{C}}{\sqrt{δ_{0}}}

$\sqrt { \frac { EI } { m } } = L^2 \sqrt { 9810 } \frac { \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$

Và vì thế:

n_{0} = = \frac{15.764 K \sqrt{C}}{\sqrt{δ_{0}}}

$n_0 = \frac { 15.764 K \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$

Các giá trị chung cho và có thể được tìm thấy trong các bảng cấu trúc - ví dụ ở đây và ở đây , tương ứng. $K$ $C$

Đối với chùm được hỗ trợ đơn giản:

K = = π^{2} và C = = \frac{5}{384}

$K = \pi ^ 2 \text{ and } C = \frac { 5 } { 384 }$

15.764 K \sqrt{C} = = 17,75

$15.764 K \sqrt { C } = 17.75$

n_{0} = = \frac{17,75}{\sqrt{δ}}

$n_0 = \frac{ 17.75 } { \sqrt { \delta } }$

— thomasmichaelwallace
nguồn

Chúng tôi đi đây. :-)

— HDE 226868

2

Đây là một câu trả lời có thể.

Tôi tìm thấy tài liệu này (không chắc chắn về nguồn chính xác), trong đó có một dẫn xuất liên quan:

Trong bài toán chuyển động điều hòa đơn giản, trong đó là độ cứng đàn hồi và là khối lượng trải qua rung động.

n_{0} = = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{k}{m}}

$n_0=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$

k

$k$

m

$m$

k = = \frac{tải}{lệch} = = \frac{F}{δ}

$k=\frac{\text{load}}{\text{deflection}}=\frac{F}{\delta}$ trong đó là lực và là độ võng. Do đó, Nhưng độ lệch trong ví dụ của bạn là tính bằng milimét, trong khi đó tính bằng mét ở đây, vì vậy tôi nhận được khoảng Nếu , chúng tôi nhận được phương trình của bạn. Nhưng tôi không chắc giá trị này đến từ đâu. Có thể là một công tắc đơn vị khác là cần thiết, hoặc có thể là hằng số này chỉ dành cho một tập hợp nhỏ các trường hợp, trong đó gia tốc nằm dọc theo các đường đó.

F

$F$

δ

$\delta$

n_{0} = = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{F}{m δ}} = = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{m một}{m δ}} = = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{một}{δ}}

$n_0=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{F}{m\delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{ma}{m \delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{a}{\delta}}$

n_{0} = = 5,03 \sqrt{\frac{một}{δ}}

$n_0=5.03 \sqrt{\frac{a}{\delta}}$

a = 12.4382

$a=12.4382$

— HDE 226868
nguồn

0

Có một số thông tin thêm về điều này trong cuốn sách "Động lực của những cây cầu đường sắt" của Ladislav Fryba (1996). Nếu bạn đọc chương 4, bạn sẽ thấy công thức 4.53 trên trang 92:

f_{1} = = 17.753 v_{S t}^{- 1 / 2}

$f_1 = 17.753 v_{st}^{-1/2}$

Với là tần số tự nhiên đầu tiên trong Hertz và độ lệch trung bình tính bằng mm. Đây là exacly công thức bạn đang hỏi về. $f_1$ $v_{st}$

Phương trình này xuất phát từ công thức tính toán độ lệch trung bình của chùm tia được hỗ trợ đơn giản được tải bởi tải phân bố đều g

v_{S t} = = \frac{5}{384} \frac{μ g {tôi}^{4}}{E Tôi}

$v_{st} = {5 \above 1pt 384} {\mu gl^4 \above 1pt EI}$

được thay thế trong

f_{j} = = \frac{λ_{j}^{4}}{{tôi}^{4}} (\frac{E Tôi}{μ})^{1 / 2}

$f_j = {\lambda_j^4 \above 1pt l^4} ({EI \above 1pt \mu})^{1/2}$

Nó mang lại

λ_{1} = = π

$\lambda_1 = \pi$

Thay thế các phương trình đó vào nhau bằng g = 9,81 m / s ^ 2 sẽ cho

f_{1} = = \frac{π}{2} (\frac{5}{384} g)^{1 / 2} v_{S t}^{- 1 / 2}

$f_1 = {\pi \above 1pt 2} ({5 \above 1pt 384} g)^{1/2} v_{st}^{-1/2}$

Việc đánh giá bằng số của phương trình này mang lại phương trình mong muốn.

— BenjaminKomen
nguồn

Cuốn sách có giải thích nguồn gốc của phương trình không? Đó là câu hỏi của OP. Và nếu có, bạn có thể khai thác nguồn gốc này không?

— Wasabi

Tôi đã thêm lời giải thích được đưa ra trong cuốn sách. Nó nên được giải thích chi tiết hơn hoặc đơn giản hơn?

— BenjaminKomen

-2

Động lực cho các kỹ sư như tôi, thường quan tâm đến thống kê, có thể dễ gây ra lỗi và hiểu lầm. Công thức này rất hữu ích cho các chùm được hỗ trợ đơn giản vì nó có thể liên quan nhanh đến tải trọng tự áp dụng và tỷ lệ tải trực tiếp (thường là 10%) mà không phải đi vào biến chứng.

Ngoài ra Cantilevers có thể sử dụng một hằng số tương tự (19.8 với udl, 15.8 với tải điểm cuối). Tất cả bị phá vỡ với dầm và khung liên tục.

Tôi xây dựng trong một kiểm tra tần số tự nhiên với tất cả các thiết kế chùm tia để theo dõi nó. Đối với các cấu trúc gỗ, ví dụ 8Hz là mục tiêu và đối với sàn bê tông / khung thép 4-6Hz - là bước đầu tiên.

Ngoài ra còn có các phương pháp thô và sẵn sàng để đánh giá các phản ứng động xung quanh. Tôi phải nói rằng động lực vẫn còn trốn tránh và làm tôi bối rối! Vì vậy, tôi ở lại đơn giản nhất có thể.

— Hugh Morrison
nguồn

Điều này không thực sự giải quyết câu hỏi cốt lõi của OP - công thức có nguồn gốc như thế nào và nguồn gốc cơ bản của nó là gì?

— grfrazee