Điều kiện biên cho một tấm kẹp tròn

Tôi đã cố gắng tìm các điều kiện biên cho phương trình DE bậc bốn cho một tấm tròn uốn. Tôi giả sử đối xứng góc và phân phối áp lực đều.

Phương trình dịch chuyển

D \nabla^{2} \nabla^{2} w (x, y, t) + h ρ \frac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}} (x, y, t) = = P (t)

$D \nabla^2\nabla^2w(x,y,t) + h\rho \frac{\partial^2{w}}{\partial{t}^2}(x,y,t) = P(t)$

D: Độ cứng uốn (Không đổi)

h: Độ dày

$\rho$ : Mật độ

P (t): Áp suất (Áp dụng đồng đều trên cơ hoành)

Chuyển đổi sang tọa độ cực

\nabla^{2} \nabla^{2} w (x, y, t) = = \frac{1}{r^{3}} \frac{\partial w}{\partial r} - \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} w}{\partial r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{\partial^{3} w}{\partial r^{3}} + \frac{\partial^{4} w}{\partial r^{4}}

$\nabla^2\nabla^2w(x,y,t) = \frac{1}{r^3}\frac{\partial{w}}{\partial{r}} - \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2{w}}{\partial{r}^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial^3{w}}{\partial{r}^3} + \frac{\partial^4{w}}{\partial{r}^4}$

Bây giờ tôi cần giải quyết

D (\frac{1}{r^{3}} \frac{\partial w}{\partial r} - \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} w}{\partial r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{\partial^{3} w}{\partial r^{3}} + \frac{\partial^{4} w}{\partial r^{4}}) + h ρ \frac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}} (r, t) = = P (t)

$D(\frac{1}{r^3}\frac{\partial{w}}{\partial{r}} - \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2{w}}{\partial{r}^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial^3{w}}{\partial{r}^3} + \frac{\partial^4{w}}{\partial{r}^4}) + h\rho\frac{\partial^2{w}}{\partial{t}^2}(r,t) = P(t)$

Các điều kiện biên tôi hiện có

$\frac{\partial{w}}{\partial{t}}(r=a,t) = 0$

$w(r=a,t) = 0$

$\frac{\partial{w}}{\partial{t}}(r=0,t) = 0$

Mục tiêu của tôi là phân tách nó với N bộ phận và biến hệ thống thành Không gian trạng thái để tôi có thể sử dụng P (t) làm bộ điều khiển cũng như tạo ra một Bode Plot và xem xét tần số cộng hưởng của hệ thống. Tôi tin rằng tôi cần thêm một điều kiện biên do đạo hàm không gian của bậc 4.

Tôi cũng có kế hoạch sử dụng sự khác biệt hữu hạn trung tâm và tiến / lùi của bậc 4 để thay thế cho sự khác biệt về không gian. Có thể đặt hàng 2 vì điều đó sẽ đơn giản hóa vấn đề.

— Cled1990
nguồn