Mô hình độ cứng của màng

Tôi đang cố gắng mô hình hóa, trong MATLAB, một màng ở dạng 2D có hình dạng giống như hình tam giác ban đầu.

Màng này có áp lực tác động lên nó từ bên trong. Ngoài ra còn có một số lực kéo theo hướng ngẫu nhiên ở phía bên trong. Tôi muốn phân tích hành vi của màng này theo thời gian. Cách tôi muốn mô hình hóa như sau:

Tôi có tập hợp các điểm màng. Tôi xác định tổng năng lượng của màng theo áp suất và lực tác dụng lên nó. Vì đây là 2D, nên tổng năng lượng của tôi thực sự là năng lượng trên một số đơn vị chiều dài. Vì vậy, năng lượng áp suất có thể được mô hình hóa thành và tôi có thể sử dụng quy tắc hình thang để viết vùng dưới dạng , trong đó là điểm thứ của màng và là tổng số điểm của màng. (Mặc dù nó không giống như nó, cơ sở)$-\text{p}(\text{area under the membrane})$$\sum_{i=1}^{n-1}(y_i+y_{i+1})(x_{i+1}-x_i)$$(x_i,y_i)$$i$$n$

Tôi không biết làm thế nào để mô hình hóa Năng lượng uốn của màng theo cách tương tự. Nó phải ở dạng và một số hằng. Một tài liệu tham khảo cho một lý thuyết uốn thích hợp cũng sẽ hữu ích. Tôi dường như nhớ một số công thức như , nhưng tôi thực sự không thể tìm thấy một nguồn trực tuyến. Khi tôi có tổng năng lượng của màng, tôi có thể giải một số phương trình vi phân để có . Làm thế nào để tôi mô hình thuật ngữ năng lượng uốn?$x_i,y_i$$\int \chi H^2 dA$$x_i(t),y_i(t)$

Định nghĩa thông thường của "một màng" là "một cái gì đó đủ mỏng để có thể bỏ qua năng lượng uốn". Nếu bạn không muốn bỏ qua nó, bạn đang nói về một "vỏ mỏng", không phải là "màng".

Lý thuyết về vỏ mỏng được biết đến, nhưng quá dài để mô tả trong một câu trả lời ở đây. Bất kỳ sách giáo khoa tốt về cơ học rắn, hoặc phương pháp phần tử hữu hạn, nên có một phần về chủ đề này.