Phương trình vi phân của một cầu tải (đơn giản hóa)

9

Tôi gặp khó khăn để tính toán các phương trình vi phân của một cầu tải đơn giản hóa.

Hệ thống được xây dựng như trong hình bên dưới (chỉ là một bản phác thảo):

Nếu tôi sử dụng phương pháp Newton, tôi sẽ nhận được các phương trình sau bằng cách bỏ qua ma sát, sức cản không khí và thay đổi độ dài của dây:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{z}}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos (φ)

$m_k \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{z}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos(\varphi)$

Khi tôi nhìn vào các mối quan hệ động học từ bộ kẹp (đường tròn có trọng số ) tôi nhận được các phương trình sau. $m_G$

x_{G} = x_{k} + l \sin (φ) z_{G} = l \cos (φ) φ = ω t = \dot{φ} t

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ z_{G} = l \cos(\varphi)\\ \varphi = \omega t = \dot{\varphi} t$

Tôi biết trọng số và và độ dài nhưng các giá trị không quan trọng ngay bây giờ. $m_k$ $m_G$ $l$

Mục tiêu là có hai phương trình vi phân ở cuối. Một phương trình sẽ chỉ ra mối quan hệ giữa lực truyền động và đường đi của xe đẩy (có đạo hàm) Phương trình khác sẽ cho thấy mối quan hệ giữa lực lái của động cơ và góc của sợi dây . $F_A$ $x_k$ $F_A$ $\varphi_G$

Sau đó tôi muốn thực hiện các chức năng chuyển (chuyển đổi Laplace, v.v.) nhưng đó không phải là vấn đề.

Vấn đề là tôi dường như không thể tìm thấy các phương trình. Cách tiếp cận tốt nhất của tôi cho đến nay trông như thế này:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ)

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi)$

Vậy có nghĩa là nếu

m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) F_{S} \sin (φ) = - m_{G} {\ddot{x}}_{G}

$m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ F_{S} \sin(\varphi) = -m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

Tôi có thể nói:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} - m_{G} {\ddot{x}}_{G}

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} - m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

và nếu tôi lấy được như thế này: $x_{G}$

x_{G} = x_{k} + l \sin (φ) {\dot{x}}_{G} = {\dot{x}}_{k} + l \dot{φ} \cos (φ) {\ddot{x}}_{G} = {\ddot{x}}_{k} + l [\ddot{φ} \cos (φ) - {\dot{φ}}^{2} \sin (φ)]

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ \dot{x}_{G} = \dot{x}_{k} + l \dot{\varphi} \cos(\varphi) \\ \ddot{x}_{G} = \ddot{x}_{k} + l \left[ \ddot{\varphi} \cos(\varphi) - \dot{\varphi}^{2} \sin(\varphi) \right]$

Tôi thực sự bị mắc kẹt ở đây vì tôi không thể tìm cách loại bỏ khỏi các phương trình. Các định lý bổ sung hoàn toàn không giúp tôi (hoặc tôi đang sử dụng chúng một cách chính xác). $\varphi$

Có ai có ý tưởng làm thế nào tôi nên tiếp tục vào thời điểm này? Tôi hy vọng tôi không cần một giải pháp hoàn chỉnh. Tôi thực sự quan tâm nhiều hơn đến việc làm điều này bản thân mình và hy vọng sẽ có được một hướng đi đúng hướng.

— tlp
nguồn

4

Tôi đoán là bạn có thể cần một phương trình vi phân khác cho chuyển động góc, sẽ liên quan đến quán tính, chẳng hạn như:

m_{G} l^{2} \ddot{φ} = m_{G} g l \sin (φ)

$m_G l^2 \ddot{\varphi} = m_G g l \sin(\varphi)$

mang lại:

\ddot{φ} = \frac{g}{l} \sin (φ)

$\ddot{\varphi} = \frac{g}{l} \sin(\varphi)$

Sau đó, bạn có thể sử dụng xấp xỉ góc nhỏ:

\sin (φ) ≃ φ

$\sin(\varphi) \simeq \varphi$

Kiểm tra ví dụ con lắc ngược .

— sáng 304
nguồn

Đặc biệt là con lắc ngược rất hữu ích ... cảm ơn vì điều đó - tôi đã không nghĩ về điều đó

— tlp

5

Động học và động lực học

Đó là những bước để giải quyết vấn đề thuộc về bản chất này.

Phân tích động học của hệ thống.

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = + $_{o}\vec{r}_{OR}$ $_{o}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = + $_{o}\vec{r}_{OR}$ $R(\varphi) _{B}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = + $\big(x_{k}î + 0j + 0k \big)$ $\big(\sin(\varphi)l î + 0j + \cos(\varphi)lk\big)$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = $\big[\big(x_{k}+\sin(\varphi)l\big)î + 0j + \big(\cos(\varphi)l\big)k\big]$

lưu ý: là ma trận xoay và . $R(\varphi)$ $x_{G} = x_{k}+\sin(\varphi)l$

Lấy các dẫn xuất thời gian:

$\hspace{5.em}$ $\dot{x_{G}}$ = $\dot{x_{k}}+\cos(\varphi)\dot{\varphi}l$

$\hspace{5.em}$ $\ddot{x_{G}}$ = $\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}$

Sử dụng phương trình của Newton:

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\ddot{x_{G}}$

Thay thế : $x_{G}$

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\big(\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)$

$\hspace{5.em}$ $\big(m_{k}+m_{G}\big)\ddot{x_{k}} + m_{G}\big(l\cos(\varphi)\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)= F_{A}$

Đối với trục z:

$\hspace{5.em}$ $F_{Z}$ = $m_{G}g-l\big(\cos(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)\ddot{\varphi}\big)$

Sử dụng định luật thứ hai của Newton để xoay vòng:

$\hspace{5.em}$ $I\ddot{\varphi}$ = $F_{Z}l\sin(\varphi)-\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi)$

$F_{Z}l\sin(\varphi) = m_{G}gl\sin(\varphi)-l^{2}\big(\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big)$

$\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi) = m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)+m_{G}\ddot{x_{K}}l\cos(\varphi)$

Sử dụng định danh lượng giác:

$\hspace{5.em}$ $\big(I+m_{G}l^{2}\big)\ddot{\varphi}$ = $m_{G}gl\sin(\varphi)-m_{k}l\cos(\varphi)\ddot{x_{k}}$

Làm xong! Bây giờ bạn có thể nghỉ ngơi ... $\ddot\smile$

— leCrazyEngineer
nguồn