Kết quả bất ngờ từ chức năng chuyển khoản của tôi

Tôi có một hệ thống có thể được mô hình hóa bằng hình ảnh sau:

Có một khối lượng $ m $ được kết nối với một lò xo $ k $ và một dashpot $ d $. Cả hai đều được kết nối với một dashpot khác $ c $. Một lực $ F (t) $ được áp dụng tại ngã ba.

Sau một số nỗ lực giải quyết một hệ thống ODE tuyến tính, tôi đã tìm thấy một hàm truyền mô tả hệ thống này:

$$ \ frac {X (s)} {F (s)} = \ frac {ds + k} {(mc + md) s ^ 3 + (mk + cd) s ^ 2 + (ck) s} $$

Tôi gần như chắc chắn điều này là đúng khi xem xét tôi đã kiểm tra toán nhiều lần (và các đơn vị kiểm tra, luôn luôn là một điểm cộng).

Hệ thống có các tham số nhất định: $ m = 1 $, $ Q = 20 $, $ \ omega = 50 $ Hz.

Từ đó, chúng ta có thể tính toán các tham số sau: $ k = m (2 \ pi \ omega) = 98696 $ N / m, $ d = \ frac {sqrt (mk)} {Q} = 15,7 $ Ns / m.

Tôi ước tính $ c = 4 $ Ns / m.

Đưa ra các tham số này, tôi mong đợi như sau:

• Đáp ứng xung mà không có triệu chứng tiếp cận một giá trị.
• Bước đáp ứng mà phát triển mà không bị ràng buộc.
• Biểu đồ Bode có cực đại ở khoảng 50 Hz.

Hai cái đầu là đúng, nhưng đây là những gì Bode của tôi thực ra giống như:

Lý do tôi mong đợi một đỉnh ở 50 Hz là vì khi $ F (t) $ có tần số gần $ \ omega $, biên độ chuyển động của khối sẽ tăng nhanh.

Có điều gì đó mà tôi đang mô hình không chính xác ở đây? Hoặc có một số quan niệm sai lầm lớn về cách tôi nghĩ hệ thống này hoạt động?

Kiểm tra các đơn vị là một cách tuyệt vời để kiểm tra lại công việc của bạn; thanh danh để làm như vậy. Tuy nhiên, bước tiếp theo trong việc kiểm tra xem kết quả của bạn có hợp lý hay không là kiểm tra giới hạn. Trong trường hợp của bạn, bạn có thể sử dụng trực giác vật lý để xác định cách hệ thống sẽ hoạt động ở tần số rất thấp và cách thức hoạt động mà không có bất kỳ giảm xóc nào.

Ở tần số rất thấp ($ s \ rightarrow0 $) khả năng đáp ứng của hệ thống phải di chuyển theo pha với chức năng truyền biên độ đi ngang tại DC ($ \ frac {X (s)} {Y (s)} \ rightarrow1 $). Ngay bây giờ bạn có một phản ứng vô hạn tại DC; tác dụng một lực nhẹ sẽ di chuyển khối lượng bằng một lượng vô hạn. Một cách khác để thấy điều này là bằng cách xem xét hệ thống mà không có bất kỳ giảm xóc nào ($ c \ rightarrow0 $, $ d \ rightarrow0 $) trong trường hợp TF của bạn sẽ trở thành $$ \ frac {X (s)} {F (s)} \ rightarrow \ frac {1} {ms ^ 2}, $$ khi nó trông giống như TF dao động điều hòa không suy giảm được đưa ra bởi $$ \ frac {k} {ms ^ 2 + k}. $$ Vì vậy, tôi không biết chính xác bạn đã sai ở đâu, nhưng bạn đang thiếu một thuật ngữ không đổi trong mẫu số của TF của bạn.

Hàm truyền có vẻ đúng, ngoại trừ độ lệch x và y từ các vị trí không được đặt và không được mô tả trong hình. Mặt khác, khi $ y = x $ thì không có khoảng trống cho mùa xuân $ k $ và damper $ d $.

Điều này cần phải được đánh đồng với

$$ \ frac {1} {c m + d m} \ frac {d s + k} {s} \ frac {1} {s ^ 2 + \ frac {s w} {Q} + w ^ 2} $$

So sánh các thuật ngữ chúng ta có hai phương trình sau

$$ w ^ 2 = \ frac {c k} {c m + d m} $$ $$ \ frac {w} {Q} = \ frac {c d + k m}}

Có 6 biến ($ m $, $ k $, $ d $, $ c $, $ Q $, $ w $) trong đó có 3 biến số ($ m $, $ Q $, $ w $). Điều này cho chúng ta 2 phương trình và ba ẩn số, và do đó có nhiều giải pháp.

Một điều tôi nhận thấy là $ c $ và $ d $ có dấu hiệu trái ngược nhau. Điều này hơi kỳ lạ vì nó có nghĩa là $ c $ hoặc $ d $ phải có dấu âm! (Sau đây là ảnh chụp màn hình các tính toán trong Mathicala.)

Nếu $ k & lt; & lt; d $ thì số 0 sẽ gần như hủy bỏ cực ở gốc. Đây là điều kiện bổ sung mà tôi đã sử dụng để đến các giá trị sau $$ c = \ frac {5 \ pi \ left (1+ \ sqrt {16000000000 \ pi ^ 2-1599} \ phải)} {2-20000000 \ pi    ^ 2} $$ $$ d = \ frac {1+ \ sqrt {16000000000 \ pi ^ 2-1599}} {4000000 \ pi} $$ $$ k k \ \

Sau đó, đây là âm mưu Bode với mức cao nhất như mong đợi ở mức ~ $ 314 rad / s $ hoặc $ 50 Hz $.