Trong số học số nguyên C #, a / b / c có luôn bằng a / (b * c) không?

Cho a, b và c là các số nguyên dương không lớn. A / b / c có luôn luôn bằng a / (b * c) với số nguyên C # không? Đối với tôi, trong C # có vẻ như:

int a = 5126, b = 76, c = 14;
int x1 = a / b / c;
int x2 = a / (b * c);

Vì vậy, câu hỏi của tôi là: không x1 == x2cho tất cả a, b và c?

Đặt \biểu thị phép chia số nguyên ( /toán tử C # giữa hai ints) và /biểu thị phép chia toán học thông thường. Sau đó, nếu x,y,zlà số nguyên dương và chúng tôi đang bỏ qua tràn ,

(x \ y) \ z
    = floor(floor(x / y) / z)      [1]
    = floor((x / y) / z)           [2]
    = floor(x / (y * z))
    = x \ (y * z)

Ở đâu

a \ b = floor(a / b)

Bước nhảy từ dòng này [1]sang dòng [2]ở trên được giải thích như sau. Giả sử bạn có hai số nguyên avà bvà một số phân số ftrong phạm vi [0, 1). Thật đơn giản để thấy rằng

floor(a / b) = floor((a + f) / b)  [3]

Nếu trong dòng [1]bạn xác định a = floor(x / y), f = (x / y) - floor(x / y)và b = z, thì [3]ngụ ý rằng [1]và [2]bằng nhau.

Bạn có thể khái quát bằng chứng này thành các số nguyên âm (vẫn bỏ qua phần tràn ), nhưng tôi sẽ để người đọc giữ cho vấn đề đơn giản.

Về vấn đề tràn - hãy xem câu trả lời của Eric Lippert để có lời giải thích tốt! Anh ấy cũng có cách tiếp cận nghiêm ngặt hơn nhiều trong bài đăng trên blog và câu trả lời của mình, điều mà bạn nên xem xét nếu bạn cảm thấy tôi đang quá tay.

Tôi thích câu hỏi này đến nỗi tôi đã đặt nó làm chủ đề cho blog của mình vào ngày 4 tháng 6 năm 2013 . Cảm ơn vì câu hỏi tuyệt vời của bạn!

Trường hợp lớn rất dễ đi qua. Ví dụ:

a = 1073741823; 
b = 134217727;
c = 134217727;

vì b * ctràn thành một số âm.

Tôi muốn nói thêm rằng thực tế là trong số học đã kiểm tra , sự khác biệt giữa a / (b * c)và (a / b) / ccó thể là sự khác biệt giữa một chương trình hoạt động và một chương trình bị treo. Nếu tích của bvà cvượt quá giới hạn của một số nguyên thì tích trước đó sẽ bị lỗi trong ngữ cảnh được kiểm tra.

Ví dụ, đối với các số nguyên dương nhỏ, đủ nhỏ để vừa với một số ngắn, danh tính nên được duy trì.

Timothy Shields vừa đăng một bằng chứng; Tôi trình bày ở đây một bằng chứng thay thế. Giả sử tất cả các số ở đây là số nguyên không âm và không có thao tác nào bị tràn.

Phép chia số nguyên của x / ytìm giá trị qsao cho q * y + r == x, ở đâu 0 <= r < y.

Vậy phép chia a / (b * c)tìm giá trị q1sao cho

q1 * b * c + r1 == a

Ở đâu 0 <= r1 < b * c

( a / b ) / cđầu tiên phép chia tìm giá trị qtsao cho

qt * b + r3 == a

và sau đó tìm giá trị q2sao cho

q2 * c + r2 == qt

Vì vậy, thay thế nó vào qtvà chúng tôi nhận được:

q2 * b * c + b * r2 + r3 == a

ở đâu 0 <= r2 < cvà 0 <= r3 < b.

Hai vật bằng nhau thì bằng nhau nên ta có

q1 * b * c + r1 == q2 * b * c + b * r2 + r3

Giả sử q1 == q2 + xcho một số nguyên x. Thay thế nó trong và giải quyết cho x:

q2 * b * c + x * b * c + r1 = q2 * b * c + b * r2 + r3
x  = (b * r2 + r3 - r1) / (b * c)

Ở đâu

 0 <= r1 < b * c
 0 <= r2 < c
 0 <= r3 < b

Có xthể lớn hơn không? Không. Chúng ta có sự bất bình đẳng:

 b * r2 + r3 - r1 <= b * r2 + r3 <= b * (c - 1) + r3 < b * (c - 1) + b == b * c

Vì vậy, tử số của phân số đó luôn nhỏ hơn b * c, vì vậy xkhông thể lớn hơn không.

Có xthể nhỏ hơn không? Không, bằng lập luận tương tự, để lại cho người đọc.

Do đó số nguyên xbằng 0, và do đó q1 == q2.

Nếu các giá trị tuyệt đối của bvà cnhỏ hơn khoảng sqrt(2^31)(xấp xỉ 46 300) b * c, thì giá trị đó sẽ không bao giờ tràn, các giá trị sẽ luôn khớp. Nếu b * ctràn, thì lỗi có thể được tạo ra trong checkedngữ cảnh hoặc bạn có thể nhận được giá trị không chính xác trong uncheckedngữ cảnh.

Tránh lỗi tràn do người khác nhận thấy, chúng luôn khớp.

Hãy giả sử rằng a/b=q1, có nghĩa là a=b*q1+r1, ở đâu 0<=r1<b.
Bây giờ giả sử rằng a/b/c=q2, có nghĩa là q1=c*q2+r2, ở đâu 0<=r2<c.
Điều này có nghĩa là a=b(c*q2+r2)+r1=b*c*q2+br2+r1.
Để có a/(b*c)=a/b/c=q2, chúng ta cần phải có 0<=b*r2+r1<b*c.
Nhưng b*r2+r1<b*r2+b=b*(r2+1)<=b*c, theo yêu cầu, và hai hoạt động khớp với nhau.

Điều này không hoạt động nếu bhoặc clà số âm, nhưng tôi cũng không biết phép chia số nguyên hoạt động như thế nào trong trường hợp đó.

Tôi sẽ cung cấp bằng chứng của riêng tôi cho vui. Điều này cũng bỏ qua tràn và chỉ xử lý các mặt tích cực, nhưng tôi nghĩ rằng bằng chứng là sạch sẽ và rõ ràng.

Mục đích là thể hiện rằng

floor(floor(x/y)/z) = floor(x/y/z)

đâu /là phép chia bình thường (trong suốt bằng chứng này).

Chúng tôi đại diện cho thương số và phần còn lại của a/b duy nhất là a = kb + r(do đó chúng tôi có nghĩa k,rlà duy nhất và cũng cần lưu ý |r| < |b|). Sau đó chúng tôi có:

(1) floor(x/y) = k => x = ky + r
(2) floor(floor(x/y)/r) = k1 => floor(x/y) = k1*z + r1
(3) floor(x/y/z) = k2 => x/y = k2*z + r2

Vì vậy, mục tiêu của chúng tôi chỉ là thể hiện điều đó k1 == k2. Chúng tôi có:

k1*z + r1 = floor(x/y) = k = (x-r)/y (from lines 1 and 2)
=> x/y - r/y = k1*z + r1 => x/y = k1*z + r1 + r/y

và như vậy:

(4) x/y = k1*z + r1 + r/y (from above)
x/y = k2*z + r2 (from line 3)

Bây giờ quan sát từ (2) đó r1là một số nguyên (đối với k1*zlà một số nguyên theo định nghĩa) và r1 < z(cũng theo định nghĩa). Hơn nữa từ (1) chúng ta biết rằng r < y => r/y < 1. Bây giờ hãy xem xét tổng r1 + r/ytừ (4). Yêu cầu là vậy r1 + r/y < zvà điều này rõ ràng so với các yêu cầu trước đó (bởi vì 0 <= r1 < zvà r1là một số nguyên nên chúng ta có 0 <= r1 <= z-1. Do đó 0 <= r1 + r/y < z). Do đó r1 + r/y = r2theo định nghĩa của r2(nếu không sẽ có hai phần dư x/ymà từ đó mâu thuẫn với định nghĩa phần dư). Do đó chúng tôi có:

x/y = k1*z + r2
x/y = k2*z + r2

và chúng tôi có kết luận mong muốn của chúng tôi rằng k1 = k2.

Bằng chứng trên sẽ hoạt động với các trường hợp phủ định ngoại trừ một vài bước mà bạn cần kiểm tra (các) trường hợp bổ sung ... nhưng tôi đã không kiểm tra.

ví dụ bộ đếm: INT_MIN / -1 / 2