Cách nhanh nhất để tính sin và cos với nhau là gì?

Tôi muốn tính cả sin và đồng sin của một giá trị với nhau (ví dụ: để tạo ma trận xoay). Tất nhiên tôi có thể tính toán chúng riêng lẻ từng cái một a = cos(x); b = sin(x);, nhưng tôi tự hỏi liệu có cách nào nhanh hơn khi cần cả hai giá trị không.

Chỉnh sửa: Để tóm tắt các câu trả lời cho đến nay:

• Vlad nói rằng có lệnh asmFSINCOStính toán cả hai (gần như giống như một cuộc gọi đếnFSINmột mình)

• Giống như Chi nhận thấy, việc tối ưu hóa này đôi khi đã được trình biên dịch thực hiện (khi sử dụng cờ tối ưu hóa).

• caf đã chỉ ra rằng các chức năngsincosvàsincosfcó thể có sẵn và có thể được gọi trực tiếp bằng cách bao gồmmath.h

• Phương pháp tiếp cận tanascius của việc sử dụng bảng tra cứu được thảo luận gây tranh cãi. (Tuy nhiên, trên máy tính của tôi và trong một kịch bản điểm chuẩn, nó chạy nhanh hơn gấp 3 lần sosincosvới với độ chính xác gần như tương tự đối với các dấu chấm động 32 bit.)

• Joel Goodwin đã liên kết với một cách tiếp cận thú vị của kỹ thuật xấp xỉ cực nhanh với ắc quy khá tốt (đối với tôi, điều này thậm chí còn nhanh hơn khi tra cứu bảng)

Bộ vi xử lý Intel / AMD hiện đại có hướng dẫn FSINCOStính toán hàm sin và hàm cosin đồng thời. Nếu bạn cần tối ưu hóa mạnh mẽ, có lẽ bạn nên sử dụng nó.

Đây là một ví dụ nhỏ: http://home.broadpark.no/~alein/fsincos.html

Đây là một ví dụ khác (dành cho MSVC): http://www.codeguru.com/forum/showthread.php?t=328669

Đây là một ví dụ khác (với gcc): http://www.allegro.cc/forums/thread/588470

Hy vọng một trong số họ giúp đỡ. (Xin lỗi, tôi đã không sử dụng hướng dẫn này.)

Vì chúng được hỗ trợ ở cấp bộ xử lý, tôi hy vọng chúng sẽ nhanh hơn nhiều so với tra cứu bảng.

Chỉnh sửa:
Wikipedia gợi ý rằng FSINCOSđã được thêm vào 387 bộ xử lý, vì vậy bạn khó có thể tìm thấy bộ xử lý không hỗ trợ nó.

Chỉnh sửa:
Tài liệu của IntelFSINCOS chỉ ra rằng tốc độ này chỉ chậm hơn khoảng 5 lần so với FDIV(tức là phép chia dấu phẩy động).

Chỉnh sửa:
Xin lưu ý rằng không phải tất cả các trình biên dịch hiện đại đều tối ưu hóa phép tính sin và cosine thành một lệnh gọi tới FSINCOS. Đặc biệt, VS 2008 của tôi đã không làm theo cách đó.

Chỉnh sửa:
Liên kết ví dụ đầu tiên đã chết, nhưng vẫn còn một phiên bản tại Wayback Machine .

Bộ xử lý x86 hiện đại có lệnh fsincos sẽ thực hiện chính xác những gì bạn đang yêu cầu - tính toán sin và cos cùng một lúc. Một trình biên dịch tối ưu hóa tốt sẽ phát hiện mã tính toán sin và cos cho cùng một giá trị và sử dụng lệnh fsincos để thực hiện điều này.

Phải mất một số cuộn cờ trình biên dịch để điều này hoạt động, nhưng:

$ gcc --version
i686-apple-darwin9-gcc-4.0.1 (GCC) 4.0.1 (Apple Inc. build 5488)
Copyright (C) 2005 Free Software Foundation, Inc.
This is free software; see the source for copying conditions.  There is NO
warranty; not even for MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.

$ cat main.c
#include <math.h> 

struct Sin_cos {double sin; double cos;};

struct Sin_cos fsincos(double val) {
  struct Sin_cos r;
  r.sin = sin(val);
  r.cos = cos(val);
  return r;
}

$ gcc -c -S -O3 -ffast-math -mfpmath=387 main.c -o main.s

$ cat main.s
    .text
    .align 4,0x90
.globl _fsincos
_fsincos:
    pushl   %ebp
    movl    %esp, %ebp
    fldl    12(%ebp)
    fsincos
    movl    8(%ebp), %eax
    fstpl   8(%eax)
    fstpl   (%eax)
    leave
    ret $4
    .subsections_via_symbols

Tada, nó sử dụng lệnh fsincos!

Khi bạn cần hiệu suất, bạn có thể sử dụng bảng sin / cos được tính toán trước (một bảng sẽ làm được, được lưu trữ dưới dạng Từ điển). Vâng, nó phụ thuộc vào độ chính xác bạn cần (có thể bảng sẽ lớn), nhưng nó phải thực sự nhanh.

Về mặt kỹ thuật, bạn sẽ đạt được điều này bằng cách sử dụng số phức và Công thức của Euler . Do đó, một cái gì đó như (C ++)

complex<double> res = exp(complex<double>(0, x));
// or equivalent
complex<double> res = polar<double>(1, x);
double sin_x = res.imag();
double cos_x = res.real();

sẽ cung cấp cho bạn sin và cosine trong một bước. Làm thế nào điều này được thực hiện trong nội bộ là một câu hỏi về trình biên dịch và thư viện đang được sử dụng. Có thể (và có thể) sẽ mất nhiều thời gian hơn để làm theo cách này (chỉ vì Công thức của Euler chủ yếu được sử dụng để tính toán phức hợp expbằng cách sử dụng sinvà cos- chứ không phải theo cách khác) nhưng có thể có một số tối ưu hóa lý thuyết.

Biên tập

Các tiêu đề trong <complex>GNU C ++ 4.2 đang sử dụng các tính toán rõ ràng về sinvà cosbên trong polar, vì vậy nó không quá tốt để tối ưu ở đó trừ khi trình biên dịch thực hiện một số phép thuật (xem -ffast-mathvà -mfpmathchuyển đổi như được viết trong câu trả lời của Chi ).

Bạn có thể tính toán một trong hai và sau đó sử dụng danh tính:

cos (x) 2 = 1 - sin (x) 2

nhưng như @tanascius nói, một bảng được tính toán trước là cách để đi.

Nếu bạn sử dụng thư viện GNU C, thì bạn có thể làm:

#define _GNU_SOURCE
#include <math.h>

và bạn sẽ nhận được tờ khai của sincos(), sincosf()và sincosl()chức năng mà tính cả hai giá trị với nhau - có lẽ trong cách nhanh nhất cho kiến trúc mục tiêu của bạn.

Có một nội dung rất thú vị trên trang diễn đàn này, tập trung vào việc tìm các giá trị gần đúng nhanh chóng: http://www.devmaster.net/forums/showthread.php?t=5784

Tuyên bố từ chối trách nhiệm: Bản thân tôi chưa sử dụng bất kỳ thứ nào trong số này.

Cập nhật ngày 22 tháng 2 năm 2018: Wayback Machine là cách duy nhất để truy cập trang gốc ngay bây giờ: https://web.archive.org/web/20130927121234/http://devmaster.net/posts/9648/fast-and-accurate- sin-cosine

Nhiều thư viện toán học C, như caf đã chỉ ra, đã có sincos (). Ngoại lệ đáng chú ý là MSVC.

• Sun đã có sincos () ít nhất là từ năm 1987 (hai mươi ba năm; tôi có một trang bản cứng)
• HPUX 11 đã có nó vào năm 1997 (nhưng không có trong HPUX 10.20)
• Đã thêm vào glibc trong phiên bản 2.1 (tháng 2 năm 1999)
• Trở thành phiên bản cài sẵn trong gcc 3.4 (2004), __builtin_sincos ().

Và liên quan đến việc tra cứu, Eric S. Raymond trong Nghệ thuật lập trình Unix (2004) (Chương 12) nói rõ ràng đây là một Ý tưởng Xấu (tại thời điểm hiện tại):

"Một ví dụ khác là tính toán trước các bảng nhỏ - ví dụ: bảng sin (x) theo độ để tối ưu hóa các phép quay trong công cụ đồ họa 3D sẽ chiếm 365 × 4 byte trên một máy hiện đại. Trước khi bộ xử lý có đủ nhanh hơn bộ nhớ để yêu cầu bộ nhớ đệm , đây là một sự tối ưu hóa tốc độ rõ ràng. Ngày nay, việc tính toán lại mỗi lần có thể nhanh hơn thay vì phải trả phần trăm bộ nhớ cache bổ sung do bảng gây ra.

"Nhưng trong tương lai, điều này có thể quay lại khi bộ nhớ đệm phát triển lớn hơn. Nói chung, nhiều tối ưu hóa chỉ là tạm thời và có thể dễ dàng biến thành bi quan khi tỷ lệ chi phí thay đổi. Cách duy nhất để biết là đo lường và xem." (từ Nghệ thuật lập trình Unix )

Nhưng, đánh giá từ cuộc thảo luận trên, không phải ai cũng đồng ý.

Tôi không tin rằng bảng tra cứu nhất thiết phải là một ý tưởng tốt cho vấn đề này. Trừ khi yêu cầu về độ chính xác của bạn rất thấp, bảng cần phải rất lớn. Và các CPU hiện đại có thể thực hiện nhiều phép tính trong khi một giá trị được tìm nạp từ bộ nhớ chính. Đây không phải là một trong những câu hỏi có thể được trả lời đúng bằng lập luận (thậm chí không phải của tôi), kiểm tra và đo lường và xem xét dữ liệu.

Nhưng tôi muốn xem xét các triển khai nhanh chóng của SinCos mà bạn tìm thấy trong các thư viện như ACML của AMD và MKL của Intel.

Nếu bạn sẵn sàng sử dụng một sản phẩm thương mại và đang tính toán một số phép tính sin / cos cùng một lúc (để bạn có thể sử dụng các hàm vectơ), bạn nên xem Thư viện Hạt nhân Toán học của Intel.

Nó có một hàm sincos

Theo tài liệu đó, nó đạt trung bình 13,08 xung nhịp / phần tử trên bộ đôi lõi 2 ở chế độ chính xác cao, mà tôi nghĩ sẽ nhanh hơn cả fsincos.

Bài viết này chỉ ra cách xây dựng một thuật toán parabol tạo ra cả sin và cosine:

Thủ thuật DSP: Xấp xỉ đồng thời Parabol của Sin và Cos

http://www.dspguru.com/dsp/tricks/parabolic-approximation-of-sin-and-cos

Khi hiệu suất là rất quan trọng đối với loại điều này, không có gì lạ khi giới thiệu một bảng tra cứu.

Đối với một cách tiếp cận sáng tạo, làm thế nào về việc mở rộng chuỗi Taylor? Vì chúng có các thuật ngữ tương tự nhau, bạn có thể làm điều gì đó giống như giả sau:

numerator = x
denominator = 1
sine = x
cosine = 1
op = -1
fact = 1

while (not enough precision) {
    fact++
    denominator *= fact
    numerator *= x

    cosine += op * numerator / denominator

    fact++
    denominator *= fact
    numerator *= x

    sine += op * numerator / denominator

    op *= -1
}

Điều này có nghĩa là bạn làm điều gì đó như sau: bắt đầu tại x và 1 cho sin và cosine, theo mô hình - trừ x ^ 2/2! từ cosine, trừ x ^ 3/3! từ sin, thêm x ^ 4/4! thành cosin, thêm x ^ 5/5! đến sin ...

Tôi không biết liệu điều này có hiệu quả hay không. Nếu bạn cần độ chính xác ít hơn so với hàm sin () và cos () được tích hợp sẵn cho bạn, nó có thể là một tùy chọn.

Có một giải pháp hay trong thư viện CEPHES có thể khá nhanh và bạn có thể thêm / bớt độ chính xác khá linh hoạt với thời gian CPU nhiều hơn / ít hơn một chút.

Hãy nhớ rằng cos (x) và sin (x) là phần thực và phần ảo của exp (ix). Vì vậy, chúng tôi muốn tính toán exp (ix) để có được cả hai. Chúng tôi tính toán trước exp (iy) cho một số giá trị rời rạc của y trong khoảng từ 0 đến 2pi. Ta chuyển x vào khoảng [0, 2pi). Sau đó, chúng ta chọn y gần nhất với x và viết
exp (ix) = exp (iy + (ix-iy)) = exp (iy) exp (i (xy)).

Chúng tôi nhận được exp (iy) từ bảng tra cứu. Và kể từ khi | xy | nhỏ (nhiều nhất là một nửa khoảng cách giữa các giá trị y), chuỗi Taylor sẽ hội tụ độc đáo chỉ trong một vài số hạng, vì vậy chúng tôi sử dụng nó cho exp (i (xy)). Và sau đó chúng ta chỉ cần một phép nhân phức tạp để có được exp (ix).

Một thuộc tính tốt đẹp khác của nó là bạn có thể vector hóa nó bằng SSE.

Bạn có thể muốn xem tại http://gruntthepeon.free.fr/ssemath/ , nơi cung cấp triển khai vectơ SSE lấy cảm hứng từ thư viện CEPHES. Nó có độ chính xác tốt (độ lệch tối đa từ sin / cos theo thứ tự 5e-8) và tốc độ (hơi tốt hơn fsincos trên cơ sở một cuộc gọi và người chiến thắng rõ ràng trên nhiều giá trị).

Tôi đã đăng một giải pháp liên quan đến lắp ráp ARM nội tuyến có khả năng tính toán cả sin và cosin của hai góc tại một thời điểm tại đây: Fast sin / cosine cho ARMv7 + NEON

Bạn có thể tìm thấy xấp xỉ chính xác nhưng nhanh chóng của hàm sin và hàm cos trong javascript tại đây: http://danisraelmalta.github.io/Fmath/ (dễ dàng nhập vào c / c ++)

Bạn đã nghĩ đến việc khai báo các bảng tra cứu cho hai hàm chưa? Bạn vẫn phải "tính toán" sin (x) và cos (x), nhưng nó sẽ nhanh hơn một cách quyết định, nếu bạn không cần độ chính xác cao.

Trình biên dịch MSVC có thể sử dụng các hàm SSE2 (nội bộ)

 ___libm_sse2_sincos_ (for x86)
 __libm_sse2_sincos_  (for x64)

trong các bản dựng được tối ưu hóa nếu cờ trình biên dịch thích hợp được chỉ định (tối thiểu / O2 / vòm: SSE2 / fp: nhanh). Tên của các hàm này dường như ngụ ý rằng chúng không tính sin và cos riêng biệt, mà cả hai đều "trong một bước".

Ví dụ:

void sincos(double const x, double & s, double & c)
{
  s = std::sin(x);
  c = std::cos(x);
}

Assembly (cho x86) với / fp: fast:

movsd   xmm0, QWORD PTR _x$[esp-4]
call    ___libm_sse2_sincos_
mov     eax, DWORD PTR _s$[esp-4]
movsd   QWORD PTR [eax], xmm0
mov     eax, DWORD PTR _c$[esp-4]
shufpd  xmm0, xmm0, 1
movsd   QWORD PTR [eax], xmm0
ret     0

Assembly (cho x86) không có / fp: nhanh nhưng có / fp: chính xác thay thế (là mặc định) gọi sin và cos riêng biệt:

movsd   xmm0, QWORD PTR _x$[esp-4]
call    __libm_sse2_sin_precise
mov     eax, DWORD PTR _s$[esp-4]
movsd   QWORD PTR [eax], xmm0
movsd   xmm0, QWORD PTR _x$[esp-4]
call    __libm_sse2_cos_precise
mov     eax, DWORD PTR _c$[esp-4]
movsd   QWORD PTR [eax], xmm0
ret     0

Vì vậy / fp: nhanh là bắt buộc để tối ưu hóa sincos.

Nhưng xin lưu ý rằng

___libm_sse2_sincos_

có thể không chính xác bằng

__libm_sse2_sin_precise
__libm_sse2_cos_precise

do thiếu "precision" ở cuối tên của nó.

Trên hệ thống cũ hơn "một chút" của tôi (Intel Core 2 Duo E6750) với trình biên dịch MSVC 2019 mới nhất và các tối ưu hóa phù hợp, điểm chuẩn của tôi cho thấy lệnh gọi sincos nhanh hơn khoảng 2,4 lần so với lệnh gọi sin và cos riêng biệt.