Làm thế nào để viết 2 ** n - 1 dưới dạng hàm đệ quy?

Tôi cần một hàm lấy n và trả về 2 ⁿ - 1 . Nghe có vẻ đơn giản, nhưng chức năng phải được đệ quy. Cho đến nay tôi chỉ có 2 ⁿ :

def required_steps(n):
    if n == 0:
        return 1
    return 2 * req_steps(n-1)

Bài tập nêu: "Bạn có thể giả sử rằng tham số n luôn là số nguyên dương và lớn hơn 0"

2**n -1cũng là 1 + 2 + 4 + ... + 2 ^n-1 có thể được tạo thành một hàm đệ quy duy nhất (không có hàm thứ hai để trừ 1 khỏi lũy thừa của 2).

Gợi ý : 1 + 2 * (1 + 2 * (...))

Giải pháp dưới đây, đừng nhìn nếu bạn muốn thử gợi ý đầu tiên.

Điều này hoạt động nếu nđược đảm bảo lớn hơn 0 (như đã thực sự hứa trong tuyên bố vấn đề):

def required_steps(n):
    if n == 1: # changed because we need one less going down
        return 1
    return 1 + 2 * required_steps(n-1)

Một phiên bản mạnh mẽ hơn cũng sẽ xử lý các giá trị 0 và âm:

def required_steps(n):
    if n < 0:
        raise ValueError("n must be non-negative")
    if n == 0:
        return 0
    return 1 + 2 * required_steps(n-1)

(Thêm một kiểm tra cho các số nguyên không còn lại là một bài tập.)

Để giải quyết vấn đề bằng cách tiếp cận đệ quy, bạn sẽ phải tìm hiểu làm thế nào bạn có thể xác định hàm với một đầu vào đã cho theo cùng một hàm với một đầu vào khác. Trong trường hợp này, kể từ đó f(n) = 2 * f(n - 1) + 1, bạn có thể làm:

def required_steps(n):
    return n and 2 * required_steps(n - 1) + 1

vậy nên:

for i in range(5):
    print(required_steps(i))

đầu ra:

0
1
3
7
15

Bạn có thể trích xuất phần đệ quy thực sự cho hàm khác

def f(n):
    return required_steps(n) - 1

Hoặc bạn có thể đặt cờ và xác định khi nào nên trừ

def required_steps(n, sub=True):
    if n == 0: return 1
    return 2 * required_steps(n-1, False) - sub

>>> print(required_steps(10))
1023

Sử dụng một tham số bổ sung cho kết quả, r-

def required_steps (n = 0, r = 1):
  if n == 0:
    return r - 1
  else:
    return required_steps(n - 1, r * 2)

for x in range(6):
  print(f"f({x}) = {required_steps(x)}")

# f(0) = 0
# f(1) = 1
# f(2) = 3
# f(3) = 7
# f(4) = 15
# f(5) = 31

Bạn cũng có thể viết nó bằng cách sử dụng dịch chuyển trái bit, <<-

def required_steps (n = 0, r = 1):
  if n == 0:
    return r - 1
  else:
    return required_steps(n - 1, r << 1)

Đầu ra là như nhau

Có một trình giữ chỗ để nhớ giá trị ban đầu của n và sau đó cho bước đầu tiên n == N, tức là trả lại2^n-1

n = 10
# constant to hold initial value of n
N = n
def required_steps(n, N):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == N:
        return 2 * required_steps(n-1, N) - 1
    return 2 * required_steps(n-1, N)

required_steps(n, N)

Một cách để lấy phần bù của "-1" là áp dụng nó trong phần trả về từ lệnh gọi hàm đầu tiên bằng cách sử dụng một đối số có giá trị mặc định, sau đó đặt rõ ràng đối số offset thành 0 trong các lệnh gọi đệ quy.

def required_steps(n, offset = -1):
    if n == 0:
        return 1
    return offset + 2 * required_steps(n-1,0)

Trên tất cả các câu trả lời tuyệt vời được đưa ra trước đó, bên dưới sẽ cho thấy việc thực hiện với các chức năng bên trong.

def outer(n):
    k=n
    def p(n):
        if n==1:
            return 2
        if n==k:
            return 2*p(n-1)-1
        return 2*p(n-1)
    return p(n)

n=5
print(outer(n))

Về cơ bản, nó đang gán một giá trị toàn cầu từ n đến k và đệ quy thông qua nó với các so sánh thích hợp.