Thuật toán cắt chuỗi hiệu quả, tuần tự loại bỏ các tiền tố và hậu tố bằng nhau

Giới hạn thời gian cho mỗi bài kiểm tra: 5 giây
Giới hạn bộ nhớ cho mỗi bài kiểm tra: 512 megabyte

Bạn được cung cấp một chuỗi sđộ dài n( n≤ 5000). Bạn có thể chọn bất kỳ tiền tố thích hợp nào của chuỗi này cũng là hậu tố của nó và loại bỏ tiền tố được chọn hoặc hậu tố tương ứng. Sau đó, bạn có thể áp dụng một hoạt động tương tự cho một chuỗi kết quả và như vậy. Độ dài tối thiểu của chuỗi cuối cùng là bao nhiêu, có thể đạt được sau khi áp dụng chuỗi tối ưu của các hoạt động đó?

Đầu vào
Dòng đầu tiên của mỗi bài kiểm tra chứa một chuỗi sbao gồm các chữ cái tiếng Anh nhỏ.

Đầu ra
Xuất một số nguyên duy nhất - độ dài tối thiểu của chuỗi cuối cùng, có thể đạt được sau khi áp dụng chuỗi tối ưu của các hoạt động đó.

Ví dụ +-------+--------+----------------------------------+ | Input | Output | Explanation | +-------+--------+----------------------------------+ | caaca | 2 | caaca → ca|aca → aca → ac|a → ac | +-------+--------+----------------------------------+ | aabaa | 2 | aaba|a → a|aba → ab|a → ab | +-------+--------+----------------------------------+ | abc | 3 | No operations are possible | +-------+--------+----------------------------------+

Đây là những gì tôi đã quản lý để làm cho đến nay:

1. Tính hàm tiền tố cho tất cả các chuỗi con của một chuỗi đã cho trong O (n ^ 2)

2. Kiểm tra kết quả thực hiện tất cả các kết hợp hoạt động có thể có trong O (n ^ 3)

Giải pháp của tôi vượt qua tất cả các thử nghiệm ở n≤ 2000 nhưng vượt quá giới hạn thời gian khi 2000 < n5000. Đây là mã của nó:

#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;

const int MAX_N = 5000;

int result; // 1 less than actual

// [x][y] corresponds to substring that starts at position `x` and ends at position `x + y` =>
// => corresponding substring length is `y + 1`
int lps[MAX_N][MAX_N]; // prefix function for the substring s[x..x+y]
bool checked[MAX_N][MAX_N]; // whether substring s[x..x+y] is processed by check function

// length is 1 less than actual
void check(int start, int length) {
    checked[start][length] = true;
    if (length < result) {
        if (length == 0) {
            cout << 1; // actual length = length + 1 = 0 + 1 = 1
            exit(0); // 1 is the minimum possible result
        }
        result = length;
    }
    // iteration over all proper prefixes that are also suffixes
    // i - current prefix length
    for (int i = lps[start][length]; i != 0; i = lps[start][i - 1]) {
        int newLength = length - i;
        int newStart = start + i;
        if (!checked[start][newLength])
            check(start, newLength);
        if (!checked[newStart][newLength])
            check(newStart, newLength);
    }
}

int main()
{
    string str;
    cin >> str;
    int n = str.length();
    // lps calculation runs in O(n^2)
    for (int l = 0; l < n; l++) {
        int subLength = n - l;
        lps[l][0] = 0;
        checked[l][0] = false;
        for (int i = 1; i < subLength; ++i) {
            int j = lps[l][i - 1];
            while (j > 0 && str[i + l] != str[j + l])
                j = lps[l][j - 1];
            if (str[i + l] == str[j + l])  j++;
            lps[l][i] = j;
            checked[l][i] = false;
        }
    }
    result = n - 1;
    // checking all possible operations combinations in O(n^3)
    check(0, n - 1);
    cout << result + 1;
}

Q: Có giải pháp nào hiệu quả hơn không?

Đây là một cách để có được yếu tố đăng nhập. Hãy dp[i][j]là sự thật nếu chúng ta có thể đạt được chuỗi con s[i..j]. Sau đó:

dp[0][length(s)-1] ->
  true

dp[0][j] ->
  if s[0] != s[j+1]:
    false
  else:
    true if any dp[0][k]
      for j < k ≤ (j + longestMatchRight[0][j+1])

  (The longest match we can use is
   also bound by the current range.)

(Initialise left side similarly.)

Bây giờ lặp lại từ bên ngoài trong:

for i = 1 to length(s)-2:
  for j = length(s)-2 to i:
    dp[i][j] ->
      // We removed on the right
      if s[i] != s[j+1]:
        false
      else:
        true if any dp[i][k]
          for j < k ≤ (j + longestMatchRight[i][j+1])

      // We removed on the left
      if s[i-1] != s[j]:
        true if dp[i][j]
      else:
        true if any dp[k][j]
          for (i - longestMatchLeft[i-1][j]) ≤ k < i

Chúng ta có thể precompute trận đấu dài nhất cho mỗi cặp bắt đầu (i, j)tại O(n^2)với sự tái phát,

longest(i, j) -> 
  if s[i] == s[j]:
    return 1 + longest(i + 1, j + 1)
  else:
    return 0

Điều này sẽ cho phép chúng tôi kiểm tra một trận đấu chuỗi con bắt đầu tại các chỉ mục ivà jtrong O(1). (Chúng ta cần cả hai hướng phải và trái.)

Làm thế nào để có được yếu tố đăng nhập

Chúng ta có thể nghĩ ra một cách để đưa ra cấu trúc dữ liệu cho phép chúng ta xác định xem

any dp[i][k]
  for j < k ≤ (j + longestMatchRight[i][j+1])

(And similarly for the left side.)

trong O(log n), xem xét chúng ta đã thấy những giá trị đó.

Đây là mã C ++ với các cây phân đoạn (cho các truy vấn phải và trái, do đó O(n^2 * log n)) bao gồm trình tạo thử nghiệm của Tuneon. Với 5000 ký tự "a", nó chạy trong 3,54 giây, 420 MB ( https://ideone.com/EIrhnR ). Để giảm bộ nhớ, một trong các cây phân đoạn được triển khai trên một hàng đơn (tôi vẫn cần điều tra làm tương tự với các truy vấn bên trái để giảm bộ nhớ hơn nữa.)

#include <iostream>
#include <string>
#include <ctime>
#include <random>
#include <algorithm>    // std::min

using namespace std;

const int MAX_N = 5000;

int seg[2 * MAX_N];
int segsL[MAX_N][2 * MAX_N];
int m[MAX_N][MAX_N][2];
int dp[MAX_N][MAX_N];
int best;

// Adapted from https://codeforces.com/blog/entry/18051
void update(int n, int p, int value) { // set value at position p
  for (seg[p += n] = value; p > 1; p >>= 1)
    seg[p >> 1] = seg[p] + seg[p ^ 1];
}
// Adapted from https://codeforces.com/blog/entry/18051
int query(int n, int l, int r) { // sum on interval [l, r)
  int res = 0;
  for (l += n, r += n; l < r; l >>= 1, r >>= 1) {
    if (l & 1) res += seg[l++];
    if (r & 1) res += seg[--r];
  }
  return res;
}
// Adapted from https://codeforces.com/blog/entry/18051
void updateL(int n, int i, int p, int value) { // set value at position p
  for (segsL[i][p += n] = value; p > 1; p >>= 1)
    segsL[i][p >> 1] = segsL[i][p] + segsL[i][p ^ 1];
}
// Adapted from https://codeforces.com/blog/entry/18051
int queryL(int n, int i, int l, int r) { // sum on interval [l, r)
  int res = 0;
  for (l += n, r += n; l < r; l >>= 1, r >>= 1) {
    if (l & 1) res += segsL[i][l++];
    if (r & 1) res += segsL[i][--r];
  }
  return res;
}

// Code by גלעד ברקן
void precalc(int n, string & s) {
  int i, j;
  for (i = 0; i < n; i++) {
    for (j = 0; j < n; j++) {
      // [longest match left, longest match right]
      m[i][j][0] = (s[i] == s[j]) & 1;
      m[i][j][1] = (s[i] == s[j]) & 1;
    }
  }

  for (i = n - 2; i >= 0; i--)
    for (j = n - 2; j >= 0; j--)
      m[i][j][1] = s[i] == s[j] ? 1 + m[i + 1][j + 1][1] : 0;

  for (i = 1; i < n; i++)
    for (j = 1; j < n; j++)
      m[i][j][0] = s[i] == s[j] ? 1 + m[i - 1][j - 1][0] : 0;
}

// Code by גלעד ברקן
void f(int n, string & s) {
  int i, j, k, longest;

  dp[0][n - 1] = 1;
  update(n, n - 1, 1);
  updateL(n, n - 1, 0, 1);

  // Right side initialisation
  for (j = n - 2; j >= 0; j--) {
    if (s[0] == s[j + 1]) {
      longest = std::min(j + 1, m[0][j + 1][1]);
      for (k = j + 1; k <= j + longest; k++)
        dp[0][j] |= dp[0][k];
      if (dp[0][j]) {
        update(n, j, 1);
        updateL(n, j, 0, 1);
        best = std::min(best, j + 1);
      }
    }
  }

  // Left side initialisation
  for (i = 1; i < n; i++) {
    if (s[i - 1] == s[n - 1]) {
      // We are bound by the current range
      longest = std::min(n - i, m[i - 1][n - 1][0]);
      for (k = i - 1; k >= i - longest; k--)
        dp[i][n - 1] |= dp[k][n - 1];
      if (dp[i][n - 1]) {
        updateL(n, n - 1, i, 1);
        best = std::min(best, n - i);
      }
    }
  }

  for (i = 1; i <= n - 2; i++) {
    for (int ii = 0; ii < MAX_N; ii++) {
      seg[ii * 2] = 0;
      seg[ii * 2 + 1] = 0;
    }
    update(n, n - 1, dp[i][n - 1]);
    for (j = n - 2; j >= i; j--) {
      // We removed on the right
      if (s[i] == s[j + 1]) {
        // We are bound by half the current range
        longest = std::min(j - i + 1, m[i][j + 1][1]);
        //for (k=j+1; k<=j+longest; k++)
        //dp[i][j] |= dp[i][k];
        if (query(n, j + 1, j + longest + 1)) {
          dp[i][j] = 1;
          update(n, j, 1);
          updateL(n, j, i, 1);
        }
      }
      // We removed on the left
      if (s[i - 1] == s[j]) {
        // We are bound by half the current range
        longest = std::min(j - i + 1, m[i - 1][j][0]);
        //for (k=i-1; k>=i-longest; k--)
        //dp[i][j] |= dp[k][j];
        if (queryL(n, j, i - longest, i)) {
          dp[i][j] = 1;
          updateL(n, j, i, 1);
          update(n, j, 1);
        }
      }
      if (dp[i][j])
        best = std::min(best, j - i + 1);
    }
  }
}

int so(string s) {
  for (int i = 0; i < MAX_N; i++) {
    seg[i * 2] = 0;
    seg[i * 2 + 1] = 0;
    for (int j = 0; j < MAX_N; j++) {
      segsL[i][j * 2] = 0;
      segsL[i][j * 2 + 1] = 0;
      m[i][j][0] = 0;
      m[i][j][1] = 0;
      dp[i][j] = 0;
    }
  }
  int n = s.length();
  best = n;
  precalc(n, s);
  f(n, s);
  return best;
}
// End code by גלעד ברקן

// Code by Bananon  =======================================================================

int result;

int lps[MAX_N][MAX_N];
bool checked[MAX_N][MAX_N];

void check(int start, int length) {
  checked[start][length] = true;
  if (length < result) {
    result = length;
  }
  for (int i = lps[start][length]; i != 0; i = lps[start][i - 1]) {
    int newLength = length - i;
    if (!checked[start][newLength])
      check(start, newLength);
    int newStart = start + i;
    if (!checked[newStart][newLength])
      check(newStart, newLength);
  }
}

int my(string str) {
  int n = str.length();
  for (int l = 0; l < n; l++) {
    int subLength = n - l;
    lps[l][0] = 0;
    checked[l][0] = false;
    for (int i = 1; i < subLength; ++i) {
      int j = lps[l][i - 1];
      while (j > 0 && str[i + l] != str[j + l])
        j = lps[l][j - 1];
      if (str[i + l] == str[j + l]) j++;
      lps[l][i] = j;
      checked[l][i] = false;
    }
  }
  result = n - 1;
  check(0, n - 1);
  return result + 1;
}

// generate =================================================================

bool rndBool() {
  return rand() % 2 == 0;
}

int rnd(int bound) {
  return rand() % bound;
}

void untrim(string & str) {
  int length = rnd(str.length());
  int prefixLength = rnd(str.length()) + 1;
  if (rndBool())
    str.append(str.substr(0, prefixLength));
  else {
    string newStr = str.substr(str.length() - prefixLength, prefixLength);
    newStr.append(str);
    str = newStr;
  }
}

void rndTest(int minTestLength, string s) {
  while (s.length() < minTestLength)
    untrim(s);
  int myAns = my(s);
  int soAns = so(s);
  cout << myAns << " " << soAns << '\n';
  if (soAns != myAns) {
    cout << s;
    exit(0);
  }
}

int main() {
  int minTestLength;
  cin >> minTestLength;
  string seed;
  cin >> seed;
  while (true)
    rndTest(minTestLength, seed);
}

Và đây là mã JavaScript (không có cải thiện yếu tố nhật ký) để cho thấy rằng việc lặp lại hoạt động. (Để có được hệ số nhật ký, chúng tôi thay thế các kvòng lặp bên trong bằng một truy vấn phạm vi duy nhất.)

debug = 1

function precalc(s){
  let m = new Array(s.length)
  for (let i=0; i<s.length; i++){
    m[i] = new Array(s.length)
    for (let j=0; j<s.length; j++){
      // [longest match left, longest match right]
      m[i][j] = [(s[i] == s[j]) & 1, (s[i] == s[j]) & 1]
    }
  }
  
  for (let i=s.length-2; i>=0; i--)
    for (let j=s.length-2; j>=0; j--)
      m[i][j][1] = s[i] == s[j] ? 1 + m[i+1][j+1][1] : 0

  for (let i=1; i<s.length; i++)
    for (let j=1; j<s.length; j++)
      m[i][j][0] = s[i] == s[j] ? 1 + m[i-1][j-1][0] : 0
  
  return m
}

function f(s){
  m = precalc(s)
  let n = s.length
  let min = s.length
  let dp = new Array(s.length)

  for (let i=0; i<s.length; i++)
    dp[i] = new Array(s.length).fill(0)

  dp[0][s.length-1] = 1
      
  // Right side initialisation
  for (let j=s.length-2; j>=0; j--){
    if (s[0] == s[j+1]){
      let longest = Math.min(j + 1, m[0][j+1][1])
      for (let k=j+1; k<=j+longest; k++)
        dp[0][j] |= dp[0][k]
      if (dp[0][j])
        min = Math.min(min, j + 1)
    }
  }

  // Left side initialisation
  for (let i=1; i<s.length; i++){
    if (s[i-1] == s[s.length-1]){
      let longest = Math.min(s.length - i, m[i-1][s.length-1][0])
      for (let k=i-1; k>=i-longest; k--)
        dp[i][s.length-1] |= dp[k][s.length-1]
      if (dp[i][s.length-1])
        min = Math.min(min, s.length - i)
    }
  }

  for (let i=1; i<=s.length-2; i++){
    for (let j=s.length-2; j>=i; j--){
      // We removed on the right
      if (s[i] == s[j+1]){
        // We are bound by half the current range
        let longest = Math.min(j - i + 1, m[i][j+1][1])
        for (let k=j+1; k<=j+longest; k++)
          dp[i][j] |= dp[i][k]
      }
      // We removed on the left
      if (s[i-1] == s[j]){
        // We are bound by half the current range
        let longest = Math.min(j - i + 1, m[i-1][j][0])
        for (let k=i-1; k>=i-longest; k--)
          dp[i][j] |= dp[k][j]
      }
      if (dp[i][j])
        min = Math.min(min, j - i + 1)
    }
  }

  if (debug){
    let str = ""
    for (let row of dp)
      str += row + "\n"
    console.log(str)
  }

  return min
}

function main(s){
  var strs = [
    "caaca",
    "bbabbbba",
    "baabbabaa",
    "bbabbba",
    "bbbabbbbba",
    "abbabaabbab",
    "abbabaabbaba",
    "aabaabaaabaab",
    "bbabbabbb"
  ]

  for (let s of strs){
    let t = new Date
    console.log(s)
    console.log(f(s))
    //console.log((new Date - t)/1000)
    console.log("")
  }
}

main()