Phân phối các chữ số cuối cùng của các số ngẫu nhiên trong Python

Có hai cách rõ ràng để tạo một chữ số ngẫu nhiên từ 0 đến 9 trong Python. Người ta có thể tạo một số dấu phẩy động ngẫu nhiên trong khoảng từ 0 đến 1, nhân với 10 và làm tròn xuống. Ngoài ra, người ta có thể sử dụng random.randintphương pháp.

import random

def random_digit_1():
    return int(10 * random.random())

def random_digit_2():
    return random.randint(0, 9)

Tôi tò mò về những gì sẽ xảy ra nếu một người tạo ra một số ngẫu nhiên trong khoảng từ 0 đến 1 và giữ chữ số cuối cùng . Tôi không nhất thiết mong đợi sự phân phối là thống nhất, nhưng tôi thấy kết quả khá đáng ngạc nhiên.

from random import random, seed
from collections import Counter

seed(0)
counts = Counter(int(str(random())[-1]) for _ in range(1_000_000))
print(counts)

Đầu ra:

Counter({1: 84206,
         5: 130245,
         3: 119433,
         6: 129835,
         8: 101488,
         2: 100861,
         9: 84796,
         4: 129088,
         7: 120048})

Một biểu đồ được hiển thị dưới đây. Lưu ý rằng 0 không xuất hiện, vì các số 0 ở cuối được cắt bớt. Nhưng bất cứ ai cũng có thể giải thích tại sao các chữ số 4, 5 và 6 phổ biến hơn các chữ số còn lại? Tôi đã sử dụng Python 3.6.10, nhưng kết quả tương tự trong Python 3.8.0a4.

Đó không phải là "chữ số cuối" của số. Đó là chữ số cuối cùng của chuỗi strđã cho bạn khi truyền số.

Khi bạn gọi strmột số float, Python cung cấp cho bạn đủ các chữ số mà việc gọi floattrên chuỗi sẽ cung cấp cho bạn số float ban đầu. Với mục đích này, một số 1 hoặc 9 theo dõi ít ​​có khả năng là cần thiết hơn các chữ số khác, bởi vì một số 1 hoặc 9 có nghĩa là số rất gần với giá trị bạn nhận được bằng cách làm tròn chữ số đó. Có một cơ hội tốt không có phao nào khác gần hơn, và nếu vậy, chữ số đó có thể bị loại bỏ mà không phải hy sinh float(str(original_float))hành vi.

Nếu strcung cấp cho bạn đủ các chữ số để thể hiện chính xác đối số, chữ số cuối cùng sẽ luôn luôn là 5, ngoại trừ khi random.random()trả về 0,0, trong trường hợp đó, chữ số cuối cùng sẽ là 0. (Phao chỉ có thể biểu thị các số hữu tỷ dyadic và chữ số thập phân khác không cuối cùng của một tỷ lệ hợp lý dyadic không nguyên luôn luôn là 5.) Các đầu ra cũng sẽ rất dài, trông giống như

>>> import decimal, random
>>> print(decimal.Decimal(random.random()))
0.29711195452007921335990658917580731213092803955078125

đó là một trong những lý do strkhông làm điều đó.

Nếu strđưa cho bạn chính xác 17 chữ số có nghĩa (đủ để phân biệt tất cả các giá trị nổi với nhau, nhưng đôi khi nhiều chữ số hơn mức cần thiết), thì hiệu ứng bạn nhìn thấy sẽ biến mất. Sẽ có sự phân phối gần như thống nhất các chữ số ở cuối (bao gồm 0).

(Ngoài ra, bạn quên rằng strđôi khi trả về một chuỗi trong ký hiệu khoa học, nhưng đó là một hiệu ứng nhỏ, bởi vì có một xác suất thấp nhận được một phao nơi đó sẽ xảy ra ra khỏi random.random().)

TL; DR Ví dụ của bạn không thực sự nhìn vào chữ số cuối cùng. Chữ số cuối cùng của một mantissa đại diện nhị phân hữu hạn được chuyển đổi thành cơ sở 10 phải luôn luôn là 0hoặc 5.

Hãy xem cpython/floatobject.c:

static PyObject *
float_repr(PyFloatObject *v)
{
    PyObject *result;
    char *buf;

    buf = PyOS_double_to_string(PyFloat_AS_DOUBLE(v),
                                'r', 0,
                                Py_DTSF_ADD_DOT_0,
                                NULL);

    // ...
}

Và bây giờ tại cpython/pystrtod.c:

char * PyOS_double_to_string(double val,
                                         char format_code,
                                         int precision,
                                         int flags,
                                         int *type)
{
    char format[32];
    Py_ssize_t bufsize;
    char *buf;
    int t, exp;
    int upper = 0;

    /* Validate format_code, and map upper and lower case */
    switch (format_code) {
    // ...
    case 'r':          /* repr format */
        /* Supplied precision is unused, must be 0. */
        if (precision != 0) {
            PyErr_BadInternalCall();
            return NULL;
        }
        /* The repr() precision (17 significant decimal digits) is the
           minimal number that is guaranteed to have enough precision
           so that if the number is read back in the exact same binary
           value is recreated.  This is true for IEEE floating point
           by design, and also happens to work for all other modern
           hardware. */
        precision = 17;
        format_code = 'g';
        break;
    // ...
}

Wikipedia xác nhận điều này:

Độ chính xác có ý nghĩa 53 bit cho độ chính xác từ 15 đến 17 chữ số thập phân có ý nghĩa (2 ^-53 1,11 × 10 ^-16 ). Nếu một chuỗi thập phân có tối đa 15 chữ số có nghĩa được chuyển đổi thành biểu diễn chính xác kép của IEEE 754 và sau đó được chuyển đổi thành chuỗi thập phân có cùng số chữ số, kết quả cuối cùng sẽ khớp với chuỗi gốc. Nếu một số chính xác kép của IEEE 754 được chuyển đổi thành một chuỗi thập phân có ít nhất 17 chữ số có nghĩa, và sau đó được chuyển đổi thành biểu diễn chính xác kép, kết quả cuối cùng phải khớp với số ban đầu.

Do đó, khi chúng tôi sử dụng str(hoặc repr), chúng tôi chỉ đại diện cho 17 chữ số có nghĩa trong cơ sở 10. Điều này có nghĩa là một số số dấu phẩy động sẽ bị cắt ngắn. Trong thực tế, để có được đại diện chính xác, bạn cần độ chính xác của 53 chữ số có nghĩa! Bạn có thể xác minh điều này như sau:

>>> counts = Counter(
...     len(f"{random():.99f}".lstrip("0.").rstrip("0"))
...     for _ in range(1000000)
... )
>>> counts
Counter({53: 449833,
         52: 270000,
         51: 139796,
         50: 70341,
         49: 35030,
         48: 17507,
         47: 8610,
         46: 4405,
         45: 2231,
         44: 1120,
         43: 583,
         42: 272,
         41: 155,
         40: 60,
         39: 25,
         38: 13,
         37: 6,
         36: 5,
         35: 4,
         34: 3,
         32: 1})
>>> max(counts)
53

Bây giờ sử dụng độ chính xác tối đa, đây là cách thích hợp để tìm "chữ số cuối":

>>> counts = Counter(
...     int(f"{random():.53f}".lstrip("0.").rstrip("0")[-1])
...     for _ in range(1000000)
... )
>>> counts
Counter({5: 1000000})

Chú ý: Như đã chỉ ra bởi user2357112, việc triển khai đúng để xem xét là PyOS_double_to_stringvà format_float_short, nhưng tôi sẽ để lại những cái hiện tại bởi vì họ đang sư phạm thú vị hơn.