Có vấn đề nào trong đó máy tính lượng tử được biết là mang lại lợi thế theo cấp số nhân?

Người ta thường tin tưởng và tuyên bố rằng máy tính lượng tử có thể vượt trội hơn các thiết bị cổ điển trong ít nhất một số nhiệm vụ.

Một trong những ví dụ phổ biến nhất là trích dẫn của một vấn đề, trong đó các máy tính lượng tử sẽ làm tốt hơn các thiết bị cổ điển là $\text{Factoring}$ , nhưng sau đó một lần nữa, nó cũng không biết liệu $\text{Factoring}$ cũng là một cách hiệu quả có thể giải quyết với một máy tính cổ điển (có nghĩa là, cho dù $\text{Factoring}\in \text{P}$ ).

Đối với các vấn đề thường được trích dẫn khác trong đó máy tính lượng tử được biết là mang lại lợi thế, chẳng hạn như tìm kiếm cơ sở dữ liệu, việc tăng tốc chỉ là đa thức.

Có những trường hợp đã biết về các vấn đề mà nó có thể được hiển thị (được chứng minh hoặc được chứng minh theo các giả định phức tạp tính toán mạnh mẽ) rằng máy tính lượng tử sẽ cung cấp một lợi thế theo cấp số nhân?

Giả sử một hàm có thuộc tính tò mò sau: Tồn tại s ∈ { 0 , 1 } n sao cho f ( x ) = f ( y ) khi và chỉ khi x + y = s . Nếu s = 0 là giải pháp duy nhất, điều này có nghĩa là f là 1 trên 1; nếu không là một nonzero s rằng đó f ( x $f\colon {\mathbb F_2}^n \to {\mathbb F_2}^n$$s \in \{0,1\}^n$$f(x) = f(y)$$x + y = s$$s = 0$$f$$s$ với mọi x , trong đó, vì 2 = 0 , có nghĩa là$f(x) = f(x + s)$$x$$2 = 0$$f$ là 2 trên 1.

Chi phí cho bất kỳ xác suất thành công theo quy định nào, trên máy tính cổ điển hoặc lượng tử, để phân biệt hàm 1 ngẫu nhiên 1 ngẫu nhiên thống nhất với hàm 2 ngẫu nhiên thống nhất thống nhất thỏa mãn tính chất này, nếu mỗi tùy chọn (1-to -1 hoặc 2 trên 1) có xác suất bằng nhau?

Tức là, tôi bí mật lật một đồng xu một cách công bằng; Nếu tôi nhận được đầu, tôi đưa cho bạn một mạch hộp đen (cổ điển hoặc lượng tử, tương ứng) cho chức năng 1-1-1 ngẫu nhiên thống nhất , trong khi nếu tôi nhận được đuôi, tôi đưa cho bạn một mạch hộp đen cho 2-ngẫu nhiên thống nhất -1 hàm f . Bao nhiêu bạn phải trả để có được một xác suất theo quy định của thành công p nói cho dù tôi đã đứng đầu hoặc đuôi?$f$$f$$p$

Đây là kịch bản của thuật toán của Simon . Nó có các ứng dụng bí truyền trong phân tích mật mã vô nghĩa , ^* và nó là công cụ ban đầu trong việc nghiên cứu các lớp phức tạp BQP và BPP và là nguồn cảm hứng ban đầu cho thuật toán của Shor.

Simon đã trình bày một thuật toán lượng tử (§3.1, trang 7) có chi phí qubit và thời gian O ( n ⋅ T f ( n ) + G ( n ) ) cho xác suất gần 1 thành công, trong đó T f ( n ) là thời gian để tính toán chồng chất của các giá trị f trên đầu vào có kích thước n và trong đó G ( n ) n $O(n + |f|)$$O(n \cdot T_f(n) + G(n))$$T_f(n)$$f$$n$$G(n)$ là thời gian để giải quyết một hệ phương trình tuyến tính trong F 2 .$n \times n$$\mathbb F_2$

Simon tiếp tục phác thảo một bằng chứng (Định lý 3.1, p 9.) Rằng một thuật toán cổ điển đánh giá tối đa không quá 2 n / 4 riêng biệt rời rạc giá trị không thể đoán đồng xu với lợi thế tốt hơn so với 2 - n / 2 so với đoán ngẫu nhiên thống nhất.$f$$2^{n/4}$$2^{-n/2}$

Trong một nghĩa nào đó, đây trả lời câu hỏi của bạn một cách tích cực: Một tính toán lượng tử đòi hỏi phải có một tuyến tính số đánh giá chức năng ngẫu nhiên trên một chồng chất lượng tử của nguyên liệu đầu vào có thể đạt được khả năng nhiều thành công tốt hơn so với một tính toán cổ điển đòi hỏi một mũ số đánh giá của một hàm ngẫu nhiên trên rời rạc đầu vào , trong kích thước của đầu vào. Nhưng theo một nghĩa khác nó không trả lời câu hỏi của bạn ở tất cả, bởi vì nó có thể là cho mỗi đặc biệt chức năng $f$ có một cách nhanh hơn để tính toán tìm kiếm.

Các Thuật toán Deutsch-Jozsa đóng vai trò như một minh họa tương tự cho một vấn đề nhân tạo hơi khác nhau để nghiên cứu các lớp phức tạp khác nhau, P và EQP, tìm ra các chi tiết trong đó là trái như một bài tập cho người đọc.

_{^* Simon là vô nghĩa đối với việc phân tích mật mã bởi vì chỉ có một tên ngốc bị nhầm lẫn không thể tin được sẽ đưa khóa bí mật của họ vào mạch lượng tử của kẻ thù để sử dụng cho sự chồng chất lượng tử của các yếu tố đầu vào, nhưng vì một số lý do, nó tạo ra sự giật gân mỗi khi ai đó xuất bản một bài báo mới sử dụng thuật toán của Simon để phá khóa của những kẻ ngốc bằng phần cứng tưởng tượng, đó là cách tất cả các cuộc tấn công này hoạt động. Ngoại lệ: Có thể điều này có thể phá vỡ mật mã hộp trắng , nhưng câu chuyện bảo mật cho mật mã hộp trắng thậm chí chống lại các đối thủ cổ điển không có triển vọng.}

Không chắc chắn nếu đây là đúng những gì bạn đang tìm kiếm; và tôi không biết rằng tôi đủ điều kiện này là "cấp số nhân" (Tôi cũng không phải là nhà khoa học máy tính nên khả năng phân tích thuật toán của tôi ít nhiều không tồn tại ...), nhưng là kết quả gần đây của Bravyi et. al đã trình bày một lớp 'Các vấn đề về chức năng tuyến tính ẩn 2D' có thể sử dụng ít tài nguyên hơn trên một thiết bị song song lượng tử.

$N\times N$$A$$b$$q$ và một không gian con đặc biệt đối với hình thức đó. Mục tiêu của "bài toán hàm tuyến tính ẩn" là tìm một tuyến tính hóa cho hàm bậc hai đó trên một không gian con đặc biệt.

$\log{N}$$>7/8$

Bằng chứng về cơ bản là một trạng thái đồ thị cụ thể rất khó để một mạch cổ điển mô phỏng, kết quả phụ này đã được chứng minh sớm hơn một chút . Sau đó, phần còn lại của bài báo cho thấy rằng loại vấn đề lớn hơn chứa vấn đề khó khăn này.

Lớp phức tạp của các vấn đề quyết định có thể giải quyết một cách hiệu quả trên máy tính cổ điển được gọi là BPP (hoặc P , nếu bạn không cho phép tính ngẫu nhiên, nhưng dù sao chúng cũng bị nghi ngờ là bằng nhau). Lớp của các vấn đề một cách hiệu quả có thể giải quyết trên một máy tính lượng tử được gọi là BQP . Nếu một vấn đề tồn tại mà một máy tính lượng tử cung cấp một sự tăng tốc theo cấp số nhân, thì điều này sẽ ám chỉ rằng BPP $\neq$ BQP . Tuy nhiên, câu hỏi BQP so với BPP là một câu hỏi mở lớn trong khoa học máy tính lý thuyết, vì vậy không có vấn đề nào được chứng minh là tồn tại (và nếu bạn tìm thấy một, chắc chắn bạn sẽ giành được tất cả các loại giải thưởng).

Mặt khác, như câu trả lời khác đề cập, có những vấn đề về hộp đen ("orory") liên quan đến vấn đề mà chúng ta biết rằng $\textbf{BPP}^O \neq \textbf{BQP}^O$, giống như thuật toán của Simon . Điều này cung cấp bằng chứng, mặc dù không phải là bằng chứng, rằng BPP $\neq$ BQP trong thế giới thực.

Mặc dù tôi không thể cung cấp bằng chứng chính thức, việc mô phỏng (sự tiến hóa theo thời gian) của một hệ lượng tử được cho là một trường hợp như vậy: Không có cách nào tốt hơn để làm điều này trên máy tính cổ điển so với thời gian theo cấp số nhân nhưng máy tính lượng tử có thể tầm thường làm điều đó trong thời gian đa thức.

Ý tưởng về một trình giả lập lượng tử như vậy (xem thêm bài viết trên wikipedia ) thực tế là cách máy tính lượng tử được đề xuất lần đầu tiên.