Sự khác biệt giữa chồng chất và trạng thái hỗn hợp là gì?

Hiểu biết của tôi cho đến nay là: trạng thái thuần túy là trạng thái cơ bản của hệ thống và trạng thái hỗn hợp thể hiện sự không chắc chắn về hệ thống, tức là hệ thống nằm trong một trong những trạng thái có xác suất (cổ điển). Tuy nhiên, chồng chất dường như cũng là một loại hỗn hợp của các trạng thái, vậy làm thế nào để chúng phù hợp với bức tranh này?

Ví dụ, hãy xem xét một đồng xu lật. Bạn có thể đại diện cho nó như là một trạng thái hỗn hợp của “người đứng đầu” và “đuôi” :$\left|0\right>$$\left|1\right>$

$$\rho_1 = \sum_j \frac{1}{2} \left|\psi_j\right> \left<\psi_j\right| = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Tuy nhiên, chúng tôi cũng có thể sử dụng sự chồng chất của “người đứng đầu” và “đuôi”: nhà nước cụ thể với mật độ$\psi = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \left|0\right> + \left|1\right> \right)$

$$\rho_2 = \left|\psi\right> \left<\psi\right| = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Nếu chúng ta đo lường trong cơ sở tính toán, chúng ta sẽ nhận được kết quả tương tự. Sự khác biệt giữa trạng thái chồng và trạng thái hỗn hợp là gì?

Không , sự chồng chất của hai trạng thái khác nhau là một con thú hoàn toàn khác với một hỗn hợp của cùng một trạng thái. Mặc dù có thể xuất hiện từ ví dụ của bạn rằngvàtạo ra kết quả đo giống nhau (và thực tế là như vậy), ngay khi bạn đo ở một cơ sở khác, họ sẽ cho kết quả khác nhau .ρ $\rho_1$$\rho_2$

Một "chồng chất" như là trạng thái thuần túy . Điều này có nghĩa là nó là một trạng thái hoàn toàn đặc trưng. Nói cách khác, không có lượng thông tin nào, được thêm vào mô tả của nó, có thể làm cho nó "ít được xác định hơn". Lưu ý rằng mọi trạng thái tinh khiết có thể được viết dưới dạng chồng chất của các trạng thái tinh khiết khác. Viết một trạng thái nhất định như một sự chồng chất của các trạng thái khác theo nghĩa đen giống như viết một vectơ theo một số cơ sở: bạn luôn có thể thay đổi cơ sở và tìm một cách biểu diễn khác của .| ψ ⟩ $\newcommand{\up}{|\!\!\uparrow\rangle}\newcommand{\down}{|\!\!\downarrow\rangle}|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}(\up+\down)$$|\psi\rangle$$\boldsymbol v$$\boldsymbol v$

Điều này trái ngược với trạng thái hỗn hợp như trong câu hỏi của bạn. Trong trường hợp , tính chất xác suất của các kết quả phụ thuộc vào sự thiếu hiểu biết của chúng ta về chính nhà nước . Điều này có nghĩa là, về nguyên tắc, có thể có được một số thông tin bổ sung sẽ cho chúng tôi biết liệu thực sự ở trạng thái hay ở trạng thái .$\rho_1$ρ 2 $\rho_1$$\rho_2$$\up$$\down$

Một trạng thái hỗn hợp không thể, nói chung, được viết như một trạng thái thuần túy. Điều này cần phải rõ ràng từ trực giác vật lý ở trên: các trạng thái hỗn hợp thể hiện sự thiếu hiểu biết của chúng ta về một trạng thái vật lý, trong khi các trạng thái thuần túy là các trạng thái hoàn toàn xác định, điều này vẫn xảy ra để mang lại kết quả xác suất do cách thức hoạt động của cơ học lượng tử.

Trên thực tế, có một tiêu chí đơn giản để biết được một nhất định (thường hỗn hợp) nhà nước có thể được viết nhưđối với một số trạng thái (thuần túy) : tính toán độ tinh khiết của nó . Độ tinh khiết của trạng thái được định nghĩa là và kết quả là độ tinh khiết của trạng thái là khi và chỉ khi trạng thái đó là thuần khiết (và nhỏ hơn nếu không thì).| ψ ⟩ ⟨ ψ | | ψ ⟩ ρ $\rho$$|\psi\rangle\langle\psi|$$|\psi\rangle$$\rho$1 $\operatorname{Tr} \,(\rho^2)$$1$ $1$

Câu trả lời ngắn gọn là có nhiều thông tin lượng tử hơn là "sự không chắc chắn". Điều này là do có nhiều hơn một cách để đo trạng thái; và đó là bởi vì có nhiều hơn một cơ sở, theo nguyên tắc, bạn có thể lưu trữ và truy xuất thông tin. Sự chồng chất cho phép bạn thể hiện thông tin theo một cơ sở khác với cơ sở tính toán - nhưng hỗn hợp mô tả sự hiện diện của một yếu tố xác suất, bất kể bạn sử dụng cơ sở nào để xem xét trạng thái.

Câu trả lời dài hơn như sau -

Đo lường như bạn đã mô tả nó là đo lường cụ thể trong cơ sở tính toán. Điều này thường được mô tả giống như "đo lường" vì sự ngắn gọn và các tập hợp lớn của cộng đồng nghĩ rằng đây là cách chính để đo lường mọi thứ. Nhưng trong nhiều hệ thống vật lý, có thể chọn cơ sở đo lường .

Một không gian vectơ trên có nhiều hơn một cơ sở (thậm chí nhiều hơn một cơ sở trực giao) và ở cấp độ toán học, không có gì làm cho một cơ sở trở nên đặc biệt hơn cơ sở, ngoài những gì thuận tiện cho nhà toán học nghĩ trong khoảng. Điều tương tự cũng đúng trong cơ học lượng tử: trừ khi bạn chỉ định một số động lực cụ thể, không có cơ sở nào đặc biệt hơn các cơ học khác. Điều đó có nghĩa là cơ sở tính toán là về cơ bản không khác biệt về mặt vật lý với các cơ sở khác như | 0 ⟩ = [ 1 0 ]$\mathbb C$ | + ⟩ =

$$\lvert 0 \rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \lvert 1 \rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$ | ψ⟩∈C2| +⟩| - $$\lvert + \rangle = \tfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \lvert - \rangle = \tfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix},$$ đó cũng là một cơ sở trực giao Điều đó có nghĩa là nên có cách "đo lường" trạng thái theo cách mà xác suất của kết quả phụ thuộc vào các phép chiếu vào các trạng thái này và .$\lvert \psi \rangle \in \mathbb C^2$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$

Trong một số hệ thống vật lý, cách người ta thực hiện phép đo này là lấy cùng một thiết bị và nghiêng nó sao cho nó thẳng hàng với trục X thay vì trục Z. Về mặt toán học, cách chúng tôi làm là xem xét các máy chiếu và sau đó hỏi những dự đoán và . Bình phương bình phương của xác định xác suất "đo| φ+⟩:=Π+| ψ⟩| φ-⟩:=Π-| ψ⟩| φ±⟩|

$$\Pi_+ = \lvert + \rangle\!\langle + \rvert = \tfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad \Pi_- = \lvert - \rangle\!\langle - \rvert = \tfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$$ $\lvert \varphi_+ \rangle := \Pi_+ \lvert \psi \rangle$$\lvert \varphi_- \rangle := \Pi_- \lvert \psi \rangle$$\lvert \varphi_\pm \rangle$| - ⟩ | φ + ⟩ | φ - ⟩ | + ⟩ | - ⟩ Π + Π $\lvert + \rangle$"và của" đo "; và chuẩn hóa hoặc để có chỉ tiêu 1 mang lại trạng thái sau đo. (Đối với trạng thái trên một qubit , đây sẽ chỉ là hoặc . Các trạng thái sau đo lường thú vị hơn có thể xảy ra nếu chúng ta xem xét các trạng thái đa qubit và xem xét máy chiếu hoặc hoạt động trên một trong nhiều qubit .)$\lvert - \rangle$$\lvert \varphi_+ \rangle$$\lvert \varphi_- \rangle$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$$\Pi_+$$\Pi_-$

Đối với các toán tử mật độ, người ta lấy trạng thái mà bạn muốn thực hiện phép đo và xem xét và . Các toán tử này có thể được chuẩn hóa phụ theo cùng cách mà các trạng thái có thể, theo nghĩa là chúng có thể có dấu vết nhỏ hơn 1. Giá trị của dấu vết của là xác suất về việc đạt được kết quả hoặc của phép đo; để tái chuẩn hóa, chỉ cần chia tỷ lệ toán tử dự kiến ​​để có dấu vết 1.ρ + : = Π $\rho$ρ - : = Π - ρ Π - | φ ± ⟩ ρ ± | + ⟩ | - $\rho_+ := \Pi_+ \rho \Pi_+$$\rho_- := \Pi_- \rho \Pi_-$$\lvert \varphi_\pm \rangle$$\rho_\pm$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$

Hãy xem xét trạng thái của bạn ở trên. Nếu bạn đo lường nó dựa trên cơ sở , thì bạn sẽ thấy đó là . Điều này có nghĩa là việc chiếu toán tử với sẽ thay đổi trạng thái và xác suất đạt được kết quả cho phép đo là 1. Nếu bạn làm điều này thay vì , bạn sẽ tìm thấy 50/50 cơ hội nhận được hoặc . Vì vậy, trạng thái là trạng thái hỗn hợp, trong khi không phải là --- sự khác biệt là | ± ⟩ ρ 2 = ρ 2 , + : = Π + ρ 2 Π + Π + | + ⟩ Ρ 1 | + ⟩ | - ⟩ ρ 1 ρ 2 ρ 2 ρ $\rho_2$$\lvert \pm \rangle$$\rho_2 = \rho_{2,+} := \Pi_+ \rho_2 \Pi_+$$\Pi_+$$\lvert + \rangle$$\rho_1$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$$\rho_1$$\rho_2$$\rho_2$có một kết quả xác định trong một cơ sở đo lường khác với cơ sở tiêu chuẩn. Bạn có thể nói rằng lưu trữ một mẩu thông tin xác định , mặc dù ở một cơ sở khác với cơ sở tính toán.$\rho_2$

Tổng quát hơn, một trạng thái hỗn hợp là một trạng thái có giá trị riêng lớn nhất nhỏ hơn 1, có nghĩa là không có cơ sở nào để bạn có thể đo lường nó để có được kết quả xác định. Sự chồng chất cho phép bạn thể hiện thông tin theo một cơ sở khác với cơ sở tính toán; hỗn hợp đại diện cho một mức độ ngẫu nhiên về trạng thái của hệ thống mà bạn đang xem xét, bất kể bạn đo hệ thống đó như thế nào.

Cùng với bài đăng của glS:

Một trạng thái hỗn hợp sẽ là nếu bạn có một hộp sơn, nhưng bạn không chắc nó có màu xanh hay vàng. Bạn biết đó là một trong hai, và một khi bạn bật đỉnh và đo nó, bạn sẽ biết, nhưng cho đến khi bạn làm điều đó là ở một trong hai trạng thái thuần túy đó. Nếu bạn nhặt nó lên từ một đống lon nơi bạn biết có nhiều lon sơn màu xanh lam như nhau, bạn sẽ có cơ hội tương đương với nó là cái này hay cái kia. 50% thời gian sẽ là 100% màu vàng và 50% thời gian sẽ là 100% màu xanh.

Sự chồng chất giống như nếu bạn lấy một nửa lon màu xanh và nửa lon màu vàng và đổ chúng lại với nhau. Bây giờ bạn đã xây dựng một trạng thái tinh khiết mới có thể biểu hiện như một sự kết hợp của các trạng thái tinh khiết khác. Nếu bạn kiểm tra 'độ xanh' của nó, thì đó là khoảng 50%. Nếu bạn kiểm tra 'độ vàng' của nó thì khoảng 50%. Nó có cả màu vàng và màu xanh cùng một lúc. 100% thời gian là cả 50% màu xanh và 50% màu vàng.

Nếu bạn đo lượng màu xanh và màu vàng trong một chồng lon màu xanh hoặc màu vàng và sau đó trong một ngăn màu xanh lá cây khác, bạn có thể bối rối khi thấy bạn có nhiều màu xanh và màu vàng trong cả hai ngăn xếp, nhưng sự khác biệt là ' màu xanh 'và' độ vàng 'ở trạng thái hỗn hợp trong ngăn xếp sau nhưng ở trạng thái chồng chất ở sau.