Nhiều bài báo khẳng định rằng mô phỏng Hamilton là hoàn thành BQP (ví dụ: mô phỏng Hamilton với sự phụ thuộc gần như tối ưu vào tất cả các tham số và Mô phỏng Hamilton bằng Qubitization ).

Dễ thấy rằng mô phỏng Hamilton là BQP-hard bởi vì bất kỳ thuật toán lượng tử nào cũng có thể được giảm xuống thành mô phỏng Hamilton, nhưng mô phỏng Hamilton trong BQP như thế nào?

tức là, chính xác vấn đề quyết định mô phỏng Hamilton trong BQP là gì và trong những điều kiện nào trên Hamiltonian?

— nhóm nhóm
nguồn

Có rất nhiều biến thể khác nhau, đặc biệt liên quan đến các điều kiện trên Hamilton. Ví dụ, đây là một trò chơi để thử và tìm lớp người Hamilton đơn giản nhất có thể mà mô phỏng vẫn hoàn thành BQP.

$|\psi\rangle$ $H$ $\hat O$ $\|\hat O\|\leq 1$ $t$ $\langle\psi|e^{iHt}\hat O e^{-iHt}|\psi\rangle$ $\frac12+a$ $\frac12-a$ $a$ $a=\frac16$

Biết thêm chi tiết

Mô phỏng Hamilton là BQP-hard

Cấu trúc cơ bản (ban đầu là do Feynman, ở đây đã tinh chỉnh một chút) về cơ bản cho thấy cách bạn có thể thiết kế một Hamiltonian thực hiện bất kỳ tính toán lượng tử nào, bao gồm mọi tính toán hoàn chỉnh BQP. Có thể quan sát bạn sẽ đo chỉ là $Z$ trên một qubit đầu ra cụ thể, hai kết quả đo tương ứng với 'có' và 'không'.

Loại Hamilton đơn giản nhất mà bạn có thể nghĩ đến là xem xét tính toán các đơn vị liên tiếp hoạt động trên các qubit , bắt đầu từ trạng thái . Sau đó, bạn có thể giới thiệu thêm một qubit và chỉ định Hamilton Nếu bạn chuẩn bị trạng thái ban đầu là thì sau một thời gian , nó sẽ ở trong một trạng thái trong đó $N-1$ $U_n$ $M$ $|0\rangle^{\otimes M}$ $N$

H = \frac{2}{N} \sum_{n = 1}^{N - 1} \sqrt{n (N - n)} (| 10 ⟩ ⟨ 01 |_{n, n + 1} \otimes U + | 01 ⟩ ⟨ 10 |_{n, n + 1} \otimes U^{†}) .

$H=\frac{2}{N}\sum_{n=1}^{N-1}\sqrt{n(N-n)}\left(|10\rangle\langle 01|_{n,n+1}\otimes U+|01\rangle\langle 10|_{n,n+1}\otimes U^\dagger\right).$

| 1 ⟩ | 0 ⟩^{\otimes (N - 1)} | 0 ⟩^{\otimes M}

$|1\rangle|0\rangle^{\otimes(N-1)}|0\rangle^{\otimes M}$

N π / 4

$N\pi/4$

| 0 ⟩^{\otimes (N - 1)} | 1 ⟩ | Φ ⟩

$|0\rangle^{\otimes (N-1)}|1\rangle|\Phi\rangle$

| Φ ⟩

$|\Phi\rangle$ là đầu ra của tính toán mong muốn. Các thế mạnh ghép hài hước mà tôi đã sử dụng ở đây, được chọn riêng để đưa ra sự tiến hóa xác định và có liên quan đến khái niệm chuyển trạng thái hoàn hảo . Thông thường bạn sẽ thấy kết quả được nêu với các khớp nối bằng nhau, nhưng tiến hóa xác suất.

\sqrt{n (N - n)}

$\sqrt{n(N-n)}$

Để xem cách thức hoạt động của nó, bạn xác định một tập hợp các trạng thái Hành động của Hamilton là điều này chứng tỏ rằng quá trình tiến hóa bị giới hạn trong không gian con được biểu thị bằng ma trận ba cực (là điều cụ thể được nghiên cứu trong chuyển trạng thái hoàn hảo).

| ψ_{n} ⟩ = | 0 ⟩^{\otimes (n - 1)} | 1 ⟩ | 0 ⟩^{\otimes N - n} \otimes (U_{n - 1} U_{n - 2} \dots U_{1} | 0 ⟩^{\otimes M}) .

$|\psi_n\rangle=|0\rangle^{\otimes(n-1)}|1\rangle|0\rangle^{\otimes{N-n}}\otimes\left(U_{n-1}U_{n-2}\ldots U_1|0\rangle^{\otimes M}\right).$

H | ψ_{n} ⟩ = \frac{2}{N} \sqrt{(n - 1) (N + 1 - n)} | ψ_{n - 1} ⟩ + \frac{2}{N} \sqrt{n (N - n)} | ψ_{n + 1} ⟩,

$H|\psi_n\rangle=\frac2N\sqrt{(n-1)(N+1-n)}|\psi_{n-1}\rangle+\frac2N\sqrt{n(N-n)}|\psi_{n+1}\rangle,$

N \times N

$N\times N$

Tất nhiên, Hamiltonian này không có bất kỳ tính chất đặc biệt nào - ví dụ như nó không mang tính địa phương. Có rất nhiều thủ thuật có thể được chơi để đơn giản hóa Hamiltonian, ví dụ, một chiều. Nó thậm chí có thể là bất biến về mặt dịch thuật nếu bạn muốn, với chi phí phải chuẩn bị trạng thái sản phẩm ban đầu phức tạp hơn (tại thời điểm đó, tính toán không còn được mã hóa trong Hamiltonian, là phổ quát, nhưng được mã hóa ở trạng thái đầu vào) . Xem ở đây , ví dụ.

Mô phỏng Hamilton

Sự tiến hóa của bất kỳ Hamilton nào là cục bộ trên một mạng tinh thể, hoạt động ở trạng thái sản phẩm ban đầu, trong một thời gian không quá đa thức trong kích thước hệ thống, có thể được mô phỏng bằng máy tính lượng tử và có thể áp dụng bất kỳ phép đo hiệu quả nào ước tính một quan sát. Theo nghĩa này, bạn có thể thấy rằng mô phỏng Hamilton không khó hơn tính toán lượng tử, điểm đối lập với tuyên bố trước đây rằng tính toán lượng tử không khó hơn mô phỏng Hamilton.

Có nhiều cách để làm điều này (và đã có một số bài báo gần đây cho thấy những cải tiến đáng kể trong việc nhân rộng lỗi cho các lớp nhất định của Hamilton). Hre khá đơn giản. Lấy Hamiltonian mà bạn muốn mô phỏng. Chia nó thành các phần khác nhau, , mỗi phần đều đi lại. Ví dụ: trên Hamiltonian láng giềng gần nhất trên một số biểu đồ, bạn không cần nhiều mảnh hơn mức độ tối đa của biểu đồ. Sau đó, bạn Trotterize sự tiến hóa, viết gần đúng Vì vậy, bạn chỉ cần xây dựng một mạch thực hiện các thuật ngữ như , bao gồm các thuật ngữ đi lại $H$ $H_i$

e^{i H t} \approx {(e^{- i H_{1} δ t} e^{- i H_{2} δ t} \dots e^{- i H_{n} δ t})}^{t / δ t}

$e^{iHt}\approx \left(e^{-iH_1\delta t}e^{-iH_2\delta t}\ldots e^{-iH_n\delta t}\right)^{t/\delta t}$

e^{- i H_{1} δ t}

$e^{-iH_1\delta t}$

H_{1} = \sum_{n} h_{n}

$H_1=\sum_nh_n$ , mỗi trong số đó chỉ hoạt động trên một số lượng nhỏ các qubit. Vì đây chỉ là một đơn vị trên một số lượng nhỏ các thuật ngữ, một máy tính lượng tử phổ quát có thể thực hiện nó.

e^{- i H_{1} δ t} = \prod_{n} e^{- i h_{n} δ t}

$e^{-iH_1\delta t}=\prod_{n}e^{-ih_n\delta t}$

— DaftWullie
nguồn

Mô phỏng Hamilton là BQP-hoàn thành

Biết thêm chi tiết

Mô phỏng Hamilton là BQP-hard

Mô phỏng Hamilton