Tại sao sự phân rã của Hamiltonian qubit-qutrit theo ma trận Pauli và Gell-Mann không phải là duy nhất?

Nếu tôi có $X$ cổng tác động lên một qubit và $\lambda_6$ cổng tác động lên một qutrit, nơi $\lambda_6$ là một ma trận Gell-Mann , hệ thống phải chịu Hamilton:

$\lambda_6X= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Trong trường hợp bất kỳ ai nghi ngờ ma trận này, nó có thể được tạo bằng tập lệnh sau (MATLAB / octave):

lambda6=[0 0 0; 0 0 1; 0 1 0];
X=      [0 1; 1 0 ];
kron(lambda6,X)

Tuy nhiên, hãy xem xét thay thế Hamilton:

.$-\frac{1}{2}Z\lambda_1 + \frac{1}{2}\lambda_1 - \frac{1}{\sqrt{3}}X\lambda_8+\frac{1}{3}X$

Đây là cùng một Hamiltonian!

Kịch bản sau đây chứng minh điều đó:

lambda1=[0 1 0;1 0 0;0 0 0];
lambda8=[1 0 0;0 1 0;0 0 -2]/sqrt(3);
Z=      [1 0; 0 -1 ];
round(-0.5*kron(Z,lambda1)+0.5*kron(eye(2),lambda1)-(1/sqrt(3))*kron(X,lambda8)+(1/3)*kron(X,eye(3)))

"Vòng" trong dòng mã cuối cùng có thể được xóa, nhưng định dạng sẽ xấu hơn vì một số số 0 cuối cùng là khoảng .$10^{-16}$

1) Tôi nghĩ rằng phân tách Pauli cho hai qubit là duy nhất, tại sao phân tách Pauli-GellMann của một qubit-qutrit lại không phải là duy nhất?

2) Làm thế nào tôi có được phân tách từ ma trận 6x6 ở trên?$\lambda_6X$

Bạn nhận được hai phép phân tách cho ma trận của mình (hãy gọi nó là ) vì bạn đang sử dụng hai cơ sở toán tử khác nhau.$A$

Trong trường hợp đầu tiên mà bạn đang xem xét ma trận như diễn xuất trong một không gian của chiều , có nghĩa là, bằng cách sử dụng cơ sở operatorial { λ i σ j } i j ≡ { λ i ⊗ σ j } i j .$3\times 2$$\{\lambda_i\sigma_j\}_{ij}\equiv\{\lambda_i\otimes\sigma_j\}_{ij}$

Nói cách khác, bạn đang tính toán hệ số , tìm c 61 là hạn chỉ không biến mất. Phân hủy này sẽ là duy nhất, bởi vì tr [ ( λ i σ j ) ( λ k σ l ) ] = N i j δ i k δ j l .$c_{ij}=\operatorname{tr}((\lambda_i\otimes \sigma_j) A)$$c_{61}$$\operatorname{tr}\big[ (\lambda_i\sigma_j)(\lambda_k\sigma_l) \big]=N_{ij} \delta_{ik}\delta_{jl}$

Mặt khác, sự phân hủy thứ hai thu được suy nghĩ của là một ma trận trong một không gian có kích thước 2 × 3 , có nghĩa là, bằng cách phân hủy nó bằng cách sử dụng cơ sở operatorial { σ i λ j } i j ≡ { σ i ⊗ λ j } tôi j . Điều này cho phép bạn hệ số mới d i j ≡ tr ( ( σ i ⊗ bước sóng j ) $A$$2\times 3$$\{\sigma_i\lambda_j\}_{ij}\equiv\{\sigma_i\otimes\lambda_j\}_{ij}$ , mà không cần phải có (và thực sự là không) giống như$d_{ij}\equiv\operatorname{tr}((\sigma_i \otimes\lambda_j) A)$ .$c_{ij}$

Không có nghịch lý vì và { λ i ⊗ σ j } i j là hai căn cứ operatorial hoàn toàn khác nhau cho một không gian của chiều 6 .$\{\sigma_i\otimes\lambda_j\}_{ij}$$\{\lambda_i\otimes\sigma_j\}_{ij}$$6$

Đây vẻ cơ bản tương tự như tài sản của phi giao hoán của sản phẩm Kronecker: :$X\otimes \lambda_6\neq \lambda_6\otimes X$

$$X\otimes\lambda_6 = \begin{pmatrix}0&1 \\1&0\end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix}0&0&0 \\0&0&1 \\0&1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&0&0\\ 0&1&0&0&0&0 \end{pmatrix}$$

Không có gì đáng ngạc nhiên, bạn không thể phân hủy $-\frac{1}{2}Z\lambda_1 + \frac{1}{2}I_2\lambda_1 - \frac{1}{\sqrt{3}}X\lambda_8+\frac{1}{3}XI_3 = \lambda_6X$$X\lambda_6$

$X\otimes \lambda_6=P^T\left(\lambda_6\otimes X\right)P$ $P$

$\left(P^T = P^{-1}\right)$ , cũng thay đổi phép phân tách.

$$X\lambda_6 = \begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix},$$ $A, B, C$$D$$3\times 3$$A=D=0$$B=C=\lambda_6$ $$X\lambda_6 = \begin{pmatrix}0&\lambda_6\\\lambda_6&0\end{pmatrix} = X\otimes \lambda_6$$

$$M=\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&1&0&0\\ 0&0&1&0&0&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix},$$ which gives that $$A=0,\quad B=C=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=\lambda_1$$

It follows that $B=C=\frac{1}{3}I_3-\frac{1}{\sqrt{3}}\lambda_8$, giving

$$M=\begin{pmatrix}0&\frac{1}{3}I_3-\frac{1}{\sqrt{3}}\lambda_8\\\frac{1}{3}I_3-\frac{1}{\sqrt{3}}\lambda_8&\lambda_1\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\left(I-Z\right)\otimes\lambda_1 + X\otimes\left(\frac{1}{3}I_3-\frac{1}{\sqrt{3}}\lambda_8\right).$$

Changing the order of the decomposition:

$$M=\begin{pmatrix}A&&B&&C\\D&&E&&F\\G&&H&&J\end{pmatrix},$$ which gives $A=B=C=D=E=G=J=0$ and $F=H=X$, in turn giving $$M=\begin{pmatrix}0&&0&&0\\0&&0&&X\\0&&X&&0\end{pmatrix}=\lambda_6\otimes X$$