Sức mạnh thực sự của Dự toán pha lượng tử là gì?

8

Tôi có một chút lúng túng liên quan đến khái niệm ước lượng pha: theo định nghĩa, được đưa ra một toán tử đơn vị và một hàm riêng với eigenvalue , ước lượng pha cho phép tìm giá trị của . Điều này có nghĩa là tôi sẽ có thể xác định một giá trị riêng của một ma trận nhất định mà tôi đã biết là một trong những hàm riêng của nó? Nhưng không phải thực tế là việc cần một trình xác định trước sẽ làm giảm tính hữu ích của chính ước lượng pha? $U$ $|u\rangle$ $\text{exp}(2\pi i \phi)$ $\phi$

algorithm speedup complexity-theory

— FSic
nguồn

Vấn đề là nếu tôi đã có các hàm riêng của một toán tử đã cho, thì điểm có các giá trị riêng của toán tử đó là gì? Tôi có thể có một số lỗ hổng để hiểu đầy đủ quá trình, nhưng tôi tưởng tượng rằng nó sẽ rất tuyệt nếu, với bất kỳ ma trận nào, tôi có thể tìm thấy một cách nhanh chóng các giá trị bản địa của nó. Tôi nói "bất kỳ" bởi vì tôi cũng đang tự hỏi liệu sẽ có cách nào đó để hoán chuyển bất kỳ loại ma trận nào trong một phiên bản đơn nhất và sau đó tìm giá trị riêng của nó để giải quyết vấn đề tuyến tính liên quan đến nó. Tôi không biết những gì tôi đang nói có ý nghĩa gì không.

— FSic

Bạn có thể làm điều đó. Về cơ bản, đó là nội dung của thuật toán HHL (Harrow, Hassidim và Lloyd), nhưng điều đó không thực sự tương ứng với những gì câu hỏi của bạn đang hỏi!

— DaftWullie

6

Nếu bạn không cung cấp một làm đầu vào, có hai điều có thể bạn muốn thoát ra: $|u\rangle$

Các cho một lựa chọn ngẫu nhiên (nhưng chưa biết) trạng thái riêng ; $\varphi$ $|u\rangle$
Cả và cho một hoặc nhiều trạng thái riêng. $\varphi$ $|u\rangle$

Cái nhìn đầu tiên Hãy ở 1. Kể từ trạng thái riêng tạo thành một cơ sở hoàn chỉnh, bất cứ tiểu bang đầu vào bạn sử dụng có thể được hiểu là một sự chồng chất của các trạng thái riêng của . Do tính tuyến tính của cơ học lượng tử, thuật toán sau đó sẽ chạy cho tất cả các trạng thái này cùng một lúc. Sau đó, khi kết thúc, khi bạn đo đầu ra, nó sẽ thu gọn ngẫu nhiên thành một thể hiện cụ thể. Điều này có nghĩa là bạn sẽ được cấp cho một người bản địa được chọn ngẫu nhiên, nhưng bạn sẽ không biết đó là gì. Do đó, thuật toán ước tính pha có thể cung cấp cho chúng ta ứng dụng đầu tiên có thể. $U$ $\varphi$

Ứng dụng thứ hai là thứ chúng ta không thể làm với ước tính pha tiêu chuẩn, nhưng hãy xem xét nó theo giả thuyết. Bất kỳ thuật toán nào có thể làm điều này sẽ cung cấp cho chúng ta một hàm riêng như một phần của đầu ra. Vì vậy, nếu bạn muốn thực sự biết là gì, bạn phải chụp cắt lớp trên đầu ra. Vì chụp cắt lớp là không hiệu quả, có lẽ sẽ có cách tốt hơn để làm điều này. $|u\rangle$ $|u\rangle$

— James Wootton
nguồn

6

Đôi khi, bạn có thể biết trình xác định và câu hỏi tính toán mà bạn muốn trả lời là giá trị riêng là gì. Ví dụ: mọi đánh giá chức năng được xác định bởi hành động của cho , có các hàm riêng được xác định rõ, nhưng liệu giá trị riêng có phải là là rất quan trọng: đó thực chất là câu hỏi được đặt ra trong các vấn đề như thuật toán của Đức, tiếng Đức-Jozsa, thuật toán của Simon, Bernstein-Vazirani, v.v. Đó cũng là cách mà nhà tiên tri tìm kiếm lượng tử thường được xây dựng. $f(x)$ $U$

U : | x ⟩ | y ⟩ \mapsto | x ⟩ | y \oplus f (x) ⟩

$U:|x\rangle|y\rangle\mapsto|x\rangle|y\oplus f(x)\rangle$

x \in {0, 1}^{n}

$x\in\{0,1\}^n$

y \in {0, 1}

$y\in\{0,1\}$

| x ⟩ (| 0 ⟩ \pm | 1 ⟩) / \sqrt{2},

$|x\rangle(|0\rangle\pm|1\rangle)/\sqrt{2},$

\pm 1

$\pm 1$

Trong một cài đặt tổng quát hơn một chút (ví dụ, áp dụng cho thuật toán của Shor), bạn có thể không cần tìm một giá trị riêng cụ thể, nhưng một lựa chọn ngẫu nhiên từ một số tập hợp con sẽ làm. Vì vậy, có thể có một trạng thái tiêu chuẩn (ví dụ ) có hỗ trợ trên tất cả các trình xác định mà bạn muốn chọn một giá trị riêng, nhưng bạn không biết các trình xác định riêng lẻ là gì, nhưng bạn không biết có thể chạy ước tính pha với đầu vào đó và bạn sẽ ổn thôi. $|00\ldots 01\rangle$

— DaftWullie
nguồn