Động lực đằng sau ma trận mật độ là gì? Và, sự khác biệt giữa ma trận mật độ của trạng thái tinh khiết và ma trận mật độ của trạng thái hỗn hợp là gì?

^{Đây là phần tiếp theo tự trả lời cho sự khác biệt giữa trạng thái lượng tử tinh khiết và hỗn hợp là gì? & Làm thế nào để tìm một ma trận mật độ của một qubit? Bạn được chào đón để viết câu trả lời thay thế.}

quantum-state density-matrix

— Daya
nguồn

Động lực

Động lực đằng sau ma trận mật độ là thể hiện sự thiếu hiểu biết về trạng thái của một hệ lượng tử nhất định, gói gọn trong một mô tả duy nhất của hệ thống này tất cả các kết quả có thể có của các kết quả đo lường, dựa trên những gì chúng ta biết về hệ thống. Biểu diễn ma trận mật độ có thêm lợi thế là loại bỏ mọi vấn đề liên quan đến các pha toàn cầu vì

| ϕ ⟩ ⟨ ϕ | = (e^{i φ} | ϕ ⟩) (e^{- i φ} ⟨ ϕ |) .

$|\phi\rangle\langle\phi|=(e^{i\varphi}|\phi\rangle)(e^{-i\varphi}\langle\phi|).$ Việc thiếu kiến thức có thể phát sinh theo nhiều cách khác nhau:

Thiếu kiến thức chủ quan - một trọng tài chuẩn bị cho bạn một trong những tập hợp các trạng thái $\{|\phi_i\rangle\}$ với xác suất $p_i$ , nhưng bạn không biết được. Ngay cả khi họ biết cái nào $|\phi_j\rangle$ họ chuẩn bị, vì bạn không, bạn phải mô tả nó dựa trên những gì bạn biết về tập thể của các quốc gia và xác suất tương ứng của họ, $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$ .
Một thiếu khách quan của tri thức - nếu hệ thống lượng tử là một phần của tình trạng vướng lớn hơn, nó là không thể để mô tả hệ thống như một trạng thái tinh khiết, nhưng tất cả các kết quả có thể đo lường được mô tả bằng ma trận mật độ thu được bằng cách $\rho=\text{Tr}_B(\rho_{AB})$ .

Tuy nhiên, điều thú vị là sự thiếu kiến thức khách quan có thể trở nên chủ quan - một bên thứ hai có thể thực hiện các hoạt động trên phần còn lại của trạng thái vướng mắc. Họ có thể biết kết quả đo, v.v. nhưng nếu họ không vượt qua, người nắm giữ hệ thống lượng tử ban đầu không có kiến thức mới, và do đó mô tả hệ thống của họ sử dụng ma trận mật độ như trước đây, nhưng giờ đây là mô tả chủ quan .

Nó cũng quan trọng để lưu ý rằng lựa chọn một cách đặc biệt đại diện cho các ma trận mật độ, ví dụ, $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$ , là một lựa chọn rất chủ quan. Nó có thể được thúc đẩy bởi một quy trình chuẩn bị cụ thể, nhưng về mặt toán học, bất kỳ mô tả nào đưa ra cùng một ma trận là tương đương. Ví dụ, trên một qubit đơn, $\rho=\frac12\mathbb{I}$ được gọi là trạng thái hỗn hợp tối đa. Do mối quan hệ hoàn chỉnh của một cơ sở, điều này có thể được biểu diễn dưới dạng hỗn hợp 50:50 hoặc hai trạng thái trực giao sử dụngbất kỳcơ sở 1 qubit nào.

\frac{1}{2} Tôi = = \frac{1}{2} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 | = = \frac{1}{2} | + ⟩ ⟨ + | + \frac{1}{2} | - ⟩ ⟨ - | .

$\frac12\mathbb{I}=\frac12|0\rangle\langle 0|+\frac12|1\rangle\langle 1|=\frac12|+\rangle\langle +|+\frac12|-\rangle\langle -|.$

Hoa tinh khiết và hỗn hợp

Sự khác biệt giữa ma trận mật độ của trạng thái tinh khiết và trạng thái hỗn hợp là đơn giản - trạng thái tinh khiết là trường hợp đặc biệt có thể được viết dưới dạng , trong khi một trạng thái hỗn hợp không thể được viết dưới dạng này. Về mặt toán học, phương tiện này rằng ma trận mật độ của một trạng thái tinh khiết có cấp bậc 1, trong khi tình trạng hỗn hợp có thứ tự lớn hơn 1. Cách tốt nhất tính này được thông qua : ngụ ý một tinh khiết trạng thái, nếu không nó là hỗn hợp. Để thấy điều này, hãy nhớ rằng $\rho=|\psi\rangle\langle\psi |$ $\text{Tr}(\rho^2)$ $\text{Tr}(\rho^2)=1$ , có nghĩa là tất cả các giá trị riêng tiền để 1. Ngoài ra, là tích cực bán rõ ràng, vì vậy tất cả các giá trị riêng là có thật và không âm. Vì vậy, nếu là bậc 1, giá trị riêng là , và tổng hợp vuông của họ rõ ràng là 1. Bảng tổng hợp vuông của bất kỳ thiết lập khác của số không âm mà sum tới 1 phải nhỏ hơn 1. $\text{Tr}(\rho)=1$ $\rho$ $\rho$ $(1,0,0,\ldots ,0)$

Trạng thái thuần túy tương ứng với kiến thức hoàn hảo của hệ thống, mặc dù điều thú vị về cơ học lượng tử là điều này không bao hàm kiến thức đầy đủ về kết quả đo lường có thể. Các trạng thái hỗn hợp đại diện cho một số kiến thức không hoàn hảo, cho dù đó là kiến thức về sự chuẩn bị, hay kiến thức về một không gian Hilbert lớn hơn.

Mô tả trạng thái hỗn hợp phong phú hơn nhiều có thể được nhìn thấy từ hình ảnh quả cầu Bloch trên một qubit duy nhất: các trạng thái tinh khiết là tất cả những gì trên bề mặt của hình cầu, trong khi các trạng thái hỗn hợp là tất cả những gì có trong khối lượng. Về mặt đếm tham số, thay vì hai tham số, bạn cần ba, thêm một tham số tương ứng với độ dài của vectơ Bloch. nơilà một đơn vị vector 3 yếu tố,là một vector của các ma trận Pauli, vàcho một trạng thái tinh khiết, vàcho một quốc gia khác nhau.

ρ = = \frac{Tôi + r \underline{n} \cdot \underline{σ}}{2},

$\rho=\frac{\mathbb{I}+r\underline{n}\cdot\underline{\sigma}}{2},$

\underline{n}

$\underline{n}$

\underline{σ}

$\underline{\sigma}$

r = 1

$r=1$

0 \leq r < 1

$0\leq r<1$

— DaftWullie
nguồn

(+1) Cảm ơn bạn, theo sự hiểu biết của tôi, chúng tôi có nhà nước

và muốn biết về

, và không có cách nào từ trước để tìm thấy nó, do đó chúng ta định nghĩa ma trận mật độ, tôi thích hợp? Chúng ta có định nghĩa khác nhau về ma trận mật độ cho các mục đích khác nhau? As, bạn đã đề cập đến cho

vì thiếu chủ quan của kiến thức và cho mục tiêu

| Ψ_{A B} ⟩

$|\Psi_{AB}\rangle$

| Ψ_{A} ⟩

$|\Psi_A\rangle$

ρ = \sum_{i} p_{i} | ϕ_{i} ⟩ ⟨ ϕ_{i} |

$\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$

ρ = {Tr}_{B} (ρ_{A B})

$\rho=\text{Tr}_B(\rho_{AB})$ Đầu tiên, tôi không rõ ý của bạn là gì khi thiếu kiến thức?

— tarit goswami

(contd.) Thứ hai, bạn có thể giải thích với ví dụ bạn có ý gì chủ quan và khách quan không?

— tarit goswami

@taritgoswami mục tiêu có nghĩa là tất cả mọi người đồng ý. Vì vậy, nếu tôi tạo ra một trạng thái thuần túy và công bố nó với thế giới, mọi người đều biết trạng thái đó là gì. Đó là một thực tế khách quan. Nhưng, nếu những người khác nhau biết những điều khác nhau về một trạng thái, ví dụ họ biết đó là | 0> hoặc | 1>, nhưng tôi đã đo nó và biết đó là | 1>, nhưng tôi đã không nói với ai khác, sau đó mọi người mô tả trạng thái dựa trên những gì họ biết về nó, vì vậy mỗi đối tượng có một mô tả khác nhau, mang tính cá nhân.

— DaftWullie

@taritgoswami Nếu có

đó là vướng, không có khái niệm về

. Không phải là chúng ta không thể tìm thấy nó; nó không tồn tại. Ma trận mật độ là mô tả tốt nhất về bản thân A có thể tồn tại bởi vì A không tồn tại ở trạng thái, nó được hợp nhất với B. Chúng ta không có các định nghĩa khác nhau về ma trận mật độ. Các thuộc tính cơ bản giống nhau, cho dù bạn đang làm gì, chỉ là có những triết lý khác nhau mà bạn có thể hiểu ý nghĩa và sự liên quan của ma trận mật độ.

| Ψ_{A B} ⟩

$|\Psi_{AB}\rangle$

| Ψ_{A} ⟩

$|\Psi_A\rangle$

— DaftWullie

Động lực đằng sau ma trận mật độ ^[1] :

Trong cơ học lượng tử, trạng thái của một hệ lượng tử được biểu thị bằng một vectơ trạng thái, ký hiệu (và rõ rệt ket ). Một hệ lượng tử với một vectơ trạng thái được gọi là một trạng thái tinh khiết . Tuy nhiên, cũng có thể một hệ thống nằm trong một tập hợp thống kê của các vectơ trạng thái khác nhau. Ví dụ, có thể có xác suất rằng vectơ trạng thái là và cơ hội mà các vector trạng thái là . Hệ thống này sẽ ở trạng thái hỗn hợp $|\psi\rangle$ $|\psi\rangle$ $50\%$ $|\psi_1\rangle$ $50\%$ $|\psi_2\rangle$ . Ma trận mật độ đặc biệt hữu ích cho các trạng thái hỗn hợp, bởi vì bất kỳ trạng thái nào, thuần túy hoặc hỗn hợp, có thể được đặc trưng bởi một ma trận mật độ duy nhất. Một trạng thái hỗn hợp khác với sự chồng chất lượng tử. Xác suất ở trạng thái hỗn hợp là xác suất cổ điển (như xác suất người ta học được trong lý thuyết / thống kê xác suất cổ điển), không giống như xác suất lượng tử trong chồng chất lượng tử. Trong thực tế, sự chồng chất lượng tử của các trạng thái tinh khiết là một trạng thái thuần túy khác, ví dụ, . Trong trường hợp này, các hệ số $\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$ không phải là xác suất, mà là biên độ xác suất. $\frac{1}{\sqrt {2}}$

Ví dụ: phân cực ánh sáng

Một ví dụ về trạng thái tinh khiết và hỗn hợp là sự phân cực ánh sáng. Photon có thể có hai xoắn ốc , tương ứng với hai trạng thái lượng tử trực giao, (phải phân cực tròn ) và (trái phân cực tròn ). Một photon cũng có thể ở trạng thái chồng chất, chẳng hạn như $|R\rangle$ $|L\rangle$ (phân cực dọc) hoặc $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$ (phân cực ngang). Tổng quát hơn, nó có thể ở bất cứ tiểu bang(với) tương ứng vớituyến tính,trònhoặchình elipphân cực. Nếu chúng ta vượt qua $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt{2}}$ $\alpha|R\rangle + \beta |L\rangle$ $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ ánh sáng phân cực thông qua một bảnphân cực trònchỉ cho phépphân cực ánh sáng, hoặc chỉphân cực ánh sáng, cường độ sẽ giảm đi một nửa trong cả hai trường hợp. Điều này có thể làm cho nócó vẻnhư một nửa số photon ở trạng tháivà khác trong tiểu bang. Nhưng điều này không đúng: Cả haivàđược hấp thụ một phần bởi một dọcphân cực tuyến tính, nhưng $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$ $|R\rangle$ $|L\rangle$ $|R\rangle$ $|L\rangle$ $|R\rangle$ $|L\rangle$ ánh sáng sẽ đi qua bản phân cực đó mà không hấp thụ gì. $\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$

Tuy nhiên, ánh sáng không phân cực như ánh sáng từ bóng đèn sợi đốt khác với bất kỳ trạng thái nào như (tuyến tính, tròn hoặc phân cực elip). Không giống như ánh sáng phân cực tuyến tính hoặc elip, nó đi qua bản phân cực với cường độ giảm dù định hướng của bản phân cực; và không giống như ánh sáng phân cực tròn, nó không thể được phân cực tuyến tính với bất kỳ tấm sóng nào vì sự phân cực định hướng ngẫu nhiên sẽ xuất hiện từ một tấm sóng với định hướng ngẫu nhiên. Thật vậy, ánh sáng không phân cực không thể được mô tả như bất kỳ $\alpha|R\rangle + \beta|L\rangle$ $50\%$ trạng thái của dạng theo một nghĩa nhất định. Tuy nhiên, ánh sáng không phân cực có thể được mô tả với trung bình cộng, ví dụ: mỗi photon là với khả năng hay với xác suất. Hành vi tương tự sẽ xảy ra nếu mỗi photon bị phân cực theo chiều dọc với xác suất hoặc phân cực theo chiều ngang với xác suất . $\alpha |R\rangle + \beta |L\rangle$ $|R\rangle$ $50\%$ $|L\rangle$ $50\%$ $50\%$ $50\%$

Do đó, ánh sáng không phân cực không thể được mô tả bởi bất kỳ trạng thái tinh khiết nào nhưng có thể được mô tả như là một tập hợp thống kê của các trạng thái tinh khiết theo ít nhất hai cách (tập hợp của một nửa phân cực tròn trái và nửa phải, hoặc tập hợp của một nửa theo chiều dọc và nửa phân cực theo chiều ngang ). Hai bản hòa tấu này hoàn toàn không thể phân biệt được bằng thực nghiệm, và do đó chúng được coi là cùng một trạng thái hỗn hợp. Một trong những lợi thế của ma trận mật độ là chỉ có một ma trận mật độ cho mỗi trạng thái hỗn hợp, trong khi có nhiều tập hợp thống kê về trạng thái tinh khiết cho mỗi trạng thái hỗn hợp. Tuy nhiên, ma trận mật độ chứa tất cả các thông tin cần thiết để tính toán bất kỳ thuộc tính có thể đo lường nào của trạng thái hỗn hợp.

Các quốc gia hỗn hợp đến từ đâu? Để trả lời điều đó, hãy xem xét cách tạo ra ánh sáng không phân cực. Một cách là sử dụng một hệ thống ở trạng thái cân bằng nhiệt , một hỗn hợp thống kê gồm số lượng lớn các microstate , mỗi loại có một xác suất nhất định ( yếu tố Boltzmann ), chuyển đổi nhanh chóng từ một sang kế tiếp do biến động nhiệt . Tính ngẫu nhiên nhiệt giải thích tại sao một bóng đèn sợi đốt , ví dụ, phát ra ánh sáng không phân cực. Cách thứ hai để tạo ra ánh sáng không phân cực là đưa ra sự không chắc chắn trong quá trình chuẩn bị hệ thống, ví dụ, truyền nó qua một tinh thể lưỡng chiếtvới bề mặt gồ ghề, do đó các phần hơi khác nhau của chùm tia thu được các phân cực khác nhau. Cách thứ ba để tạo ra ánh sáng không phân cực sử dụng thiết lập EPR: Phân rã phóng xạ có thể phát ra hai photon truyền theo hướng ngược nhau, ở trạng thái lượng tử . Hai photon với nhau ở trạng thái tinh khiết, nhưng nếu bạn chỉ nhìn vào một trong các photon và bỏ qua cái kia, thì photon hoạt động giống như ánh sáng không phân cực. $\frac{|R,L\rangle + |L,R\rangle}{\sqrt{2}}$

Tổng quát hơn, các trạng thái hỗn hợp thường phát sinh từ hỗn hợp thống kê của trạng thái bắt đầu (như ở trạng thái cân bằng nhiệt), từ sự không chắc chắn trong quy trình chuẩn bị (chẳng hạn như các đường hơi khác nhau mà photon có thể di chuyển) hoặc nhìn vào hệ thống con bị vướng thứ gì khác.

Lấy ma trận mật độ ^[2] :

Như đã đề cập trước đó, một hệ thống có thể nằm trong một tập hợp thống kê của các vectơ trạng thái khác nhau. Giả sử có xác suất rằng vectơ trạng thái là và xác suất mà các vector trạng thái là được xác suất cổ điển tương ứng của mỗi tiểu bang được chuẩn bị. $p_1$ $|\psi_1\rangle$ $p_2$ $|\psi_2\rangle$

Này, bây giờ chúng tôi muốn tìm các giá trị kỳ vọng của một nhà điều hành . Nó được đưa ra là: $\hat{O}$

⟨ \hat{Ôi} ⟩ = = p_{1} ⟨ ψ_{1} | \hat{Ôi} | ψ_{1} ⟩ + p_{2} ⟨ ψ_{2} | \hat{Ôi} | ψ_{2} ⟩

$\langle \hat{O} \rangle = p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle + p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$

Lưu ý rằng và là vô hướng, và dấu vết của vô hướng là vô hướng quá. Vì vậy, chúng ta có thể viết biểu thức trên là: $\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle$ $p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$

⟨ \hat{Ôi} ⟩ = = T r (p_{1} ⟨ ψ_{1} | \hat{Ôi} | ψ_{1} ⟩) + T r (p_{2} ⟨ ψ_{2} | \hat{Ôi} | ψ_{2} ⟩)

$\langle \hat{O} \rangle = Tr(p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle) + Tr(p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle)$

Bây giờ, sử dụng tính chất bất biến và tuyến tính theo chu kỳ của dấu vết :

⟨ \hat{Ôi} ⟩ = = p_{1} T r (\hat{Ôi} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} |) + p_{2} T r (\hat{Ôi} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |)

$\langle \hat{O} \rangle = p_1Tr(\hat{O} \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2Tr(\hat{O} \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)$

= = T r (\hat{Ôi} (p_{1} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} |) + p_{2} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |)) = = T r (\hat{Ôi} ρ)

$= Tr(\hat{O} (p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)) = Tr(\hat{O} \rho)$

trong đó là cái mà chúng ta gọi là ma trận mật độ. Toán tử mật độ chứa tất cả thông tin cần thiết để tính giá trị kỳ vọng cho thử nghiệm. $\rho$

Do đó, về cơ bản ma trận mật độ là $\rho$

trong trường hợp này.

p_{1} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} | + p_{2} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |

$p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert$

Rõ ràng bạn có thể ngoại suy logic này khi không chỉ có hai vectơ trạng thái cho một hệ thống, với các xác suất khác nhau.

Tính ma trận mật độ:

Hãy lấy một ví dụ, như sau.

Trong hình trên, bóng đèn sợi đốt phát ra các photon phân cực hoàn toàn ngẫu nhiên với ma trận mật độ trạng thái hỗn hợp. $1$ $2$

Như đã đề cập trước đây, một ánh sáng không phân cực có thể được giải thích với mức trung bình đồng nhất, ví dụ như mỗi photon là hay với xác suất cho mỗi người. Một mức trung bình có thể có khác là: mỗi photon là $|R\rangle$ $|L\rangle$ $50%$ hoặc $\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$ vớixác suấtcho mỗi. Có rất nhiều khả năng khác nữa. Hãy cố gắng đến với một số chính mình. Điểm cần lưu ý là ma trận mật độ cho tất cả các bản hòa tấu có thể này sẽ hoàn toàn giống nhau. Và đây chính xác là lý do tại sao phân tách ma trận mật độ thành các trạng thái tinh khiết không phải là duy nhất. Hãy kiểm tra: $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ $50\%$

Trường hợp 1 : & $50\%$ $|R\rangle$ $50\%$ $|L\rangle$

ρ_{Trộn} = = 0,5 | R ⟩ ⟨ R | + 0,5 | L ⟩ ⟨ L |

$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 |R\rangle \langle R| + 0.5 |L\rangle \langle L|$

Bây giờ, trong cơ sở , có thể được ký hiệu là và có thể được ký hiệu là $\{|R\rangle, |L\rangle\}$ $|R\rangle$ $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ $|L\rangle$ $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 0.5 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]) + 0.5 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}])

$\therefore 0.5 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0.5 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$

= 0.5 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 0.5 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$

Trường hợp 2 : $50\%$ & $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ $50\%$ $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$

ρ_{mixed} = 0.5 (\frac{| R ⟩ + | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | + ⟨ L |}{\sqrt{2}}) + 0.5 (\frac{| R ⟩ - | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | - ⟨ L |}{\sqrt{2}})

$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0.5 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$

Trong cơ sở , $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$ có thể được ký hiệu làvà $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ có thể được ký hiệu là $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 0.5 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]) + 0.5 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}])

= 0.5 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 0,5 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Như vậy, chúng ta có thể thấy rõ rằng chúng ta có cùng ma trận mật độ trong cả trường hợp 1 và trường hợp 2.

= = [\begin{matrix} 0,5 & 0 \\ 0 & 0,5 \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$

Tuy nhiên, sau khi đi qua bản phân cực phẳng (3), các photon còn lại đều bị phân cực theo chiều dọc (4) và có ma trận mật độ trạng thái tinh khiết:

ρ_{nguyên chất} = = 1 (\frac{| R ⟩ + | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | + ⟨ L |}{\sqrt{2}}) + 0 (\frac{| R ⟩ - | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | - ⟨ L |}{\sqrt{2}})

$\rho_{\text{pure}} = 1 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$

Trong cơ sở ,có thể được ký hiệu làvàcó thể được ký hiệu là $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$ $|R\rangle$ $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ $|L\rangle$ $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 1 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]) + 0 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}])

$\therefore 1 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$

= = 1 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 0 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$= 1 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

= = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

Trường hợp qubit duy nhất:

Trong trường hợp này, ma trận mật độ đơn giản sẽ là:

ρ_{pure} = 1 | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$\rho_{\text{pure}} = 1|\psi\rangle \langle \psi|$

$\{\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle,\beta^*|0\rangle - \alpha^*|1\rangle\}$

ma trận mật độ đơn giản sẽ là:

[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

Điều này rất giống với 'trường hợp 2' ở trên, vì vậy tôi đã không hiển thị các tính toán. Bạn có thể đặt câu hỏi trong các ý kiến nếu phần này có vẻ không rõ ràng.

$\{|0\rangle,|1\rangle\}$

ρ = = 1 (α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩) \otimes (α^{*} ⟨ 0 | + β^{*} ⟨ 1 |)

$\rho = 1(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \otimes (\alpha^* \langle 0| + \beta^* \langle 1|)$

= = [\begin{matrix} α \\ β \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} α^{*} & β^{*} \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} \alpha^* & \beta^* \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} α α^{*} & α β^{*} \\ β α^{*} & β β^{*} \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} \alpha\alpha^* & \alpha\beta^* \\ \beta\alpha^* & \beta\beta^* \end{bmatrix}$

Notice that this matrix $\rho$ is idempotent i.e. $\rho = \rho^2$ . This is an important property of the density matrices of a pure state and helps us to distinguish them from density matrices of mixed states.

Obligatory exercises:

1. Show that density matrices of pure states can be diagonalized to the form $\text{diag}(1,0,0,...)$ .
2. Prove that density matrices of pure states are idempotent.

Sources & References:

[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix

[2]: https://physics.stackexchange.com/a/158290

Image Credits:

User Kaidor on Wikimedia

— Sanchayan Dutta
nguồn

It's a little bit confusing at first what you're considering as your initial situation. Maybe consider switching |L> and |R> to |H> and |V> (with the polarizer set to D)? While technically it's all the same stuff in some basis, I think its more natural to think about polarizers in the H, V basis.

— Steven Sagona

I think this question misses the most fundamental aspect of the different between pure and mixed, and that is that mixed states do not behave quantum mechanically. You say that states are classical mixtures, but you do not point out how superpositions states behave quantum mechanically (which is nontrivial). For example if you have something in a 1qubit superposition there's also a 50/50 chance of each option. So how is this state different than a classical one. I think showing how we can see "quantum interference" of a superposition state is how to properly illustrate the difference.

— Steven Sagona

^This idea is discussed a bit here: physics.stackexchange.com/questions/409205/…

— Steven Sagona

@StevenSagona Cảm ơn bạn đã chỉ ra điều đó. Tôi sẽ cập nhật câu trả lời của tôi.

— Sanchaya Dutta

Ma trận mật độ cho trạng thái tinh khiết và trạng thái hỗn hợp

Động lực

Hoa tinh khiết và hỗn hợp

Động lực đằng sau ma trận mật độ [1] :

Ví dụ: phân cực ánh sáng

Lấy ma trận mật độ [2] :

Tính ma trận mật độ:

Trường hợp qubit duy nhất:

Obligatory exercises:

Động lực đằng sau ma trận mật độ ^[1] :

Lấy ma trận mật độ ^[2] :