^{Đây là phần tiếp theo của thuật toán lượng tử cho các hệ phương trình tuyến tính (HHL09): Bước 1 - Nhầm lẫn về việc sử dụng thuật toán ước lượng pha và thuật toán lượng tử cho các hệ phương trình tuyến tính (HHL09): Bước 1 - Số lượng qubit cần thiết} .

---

Trong bài báo: Thuật toán lượng tử cho các hệ phương trình tuyến tính (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) , những gì được viết lên đến phần

Bước tiếp theo là phân tách trong cơ sở eigenvector, sử dụng ước lượng pha [5 Lời7]. bởi các hàm riêng của (hoặc tương đương, của ) và bởi các giá trị riêng tương ứng.$|b\rangle$$|u_j\rangle$$A$$e^{iAt}$$\lambda_j$

trên trang làm cho một số ý nghĩa với tôi (những nhầm lẫn cho đến đã có đề cập trong bài viết trước đây liên kết ở trên). Tuy nhiên, phần tiếp theo tức là xoay có vẻ hơi khó hiểu.R ( λ - 1$2$$R(\lambda^{-1})$

Đặt

$$|\Psi_0\rangle := \sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin \frac{\pi(\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle$$

đối với một số lớn . Các hệ số của được chọn (theo [5-7]) để giảm thiểu một hàm mất bậc hai nhất định xuất hiện trong phân tích lỗi của chúng tôi (xem [13] để biết chi tiết).| Ψ 0$T$$|\Psi_0\rangle$

Tiếp theo, chúng tôi áp dụng tiến hóa Hamilton có điều kiện trên , trong đó . | Ψ 0 ⟩ C ⊗ | b ⟩ t 0 = O ( κ / ε $\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$$|\Psi_0\rangle^{C}\otimes |b\rangle$$t_0 = \mathcal{O}(\kappa/\epsilon)$

Câu hỏi:

1. Chính xác thì gì? Gì và đứng cho? Tôi không biết từ đâu biểu thức khổng lồ này đột nhiên đến từ đâu và công dụng của nó là gì.T τ $|\Psi_0\rangle$$T$$\tau$

$$\sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin \frac{\pi(\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle$$

2. Sau bước ước tính pha, trạng thái của hệ thống của chúng tôi rõ ràng là :

$$\left(\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$$

Điều này chắc chắn không thể được viết là tức là

$$\left(\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\right)\otimes \left(\sum_{j=1}^{j=N}|\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$$

$$|b\rangle\otimes \left(\sum_{j=1}^{j=N}|\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$$

Vì vậy, rõ ràng là không có sẵn một cách riêng biệt vào sổ đăng ký thứ hai. Vì vậy, tôi không biết làm thế nào họ chuẩn bị một trạng thái như ở nơi đầu tiên! Ngoài ra, chữ trong siêu ký tự của biểu thị điều gì?| Ψ 0 ⟩ C ⊗ | b ⟩ C | Ψ 0 ⟩ $|b\rangle$$|\Psi_0\rangle^{C}\otimes |b\rangle$$C$$|\Psi_0\rangle^{C}$

3. Biểu thức này đột nhiên xuất hiện từ đâu? Việc sử dụng mô phỏng nó là gì? Và trong gì? κ O ( κ / ϵ $\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$$\kappa$$\mathcal{O}(\kappa/\epsilon)$

1. Định nghĩa

Tên và ký hiệu được sử dụng trong câu trả lời này tuân theo các tên được xác định trong thuật toán hệ thống tuyến tính lượng tử: một mồi (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) . Một thu hồi được thực hiện dưới đây.

1.1 Đăng ký tên

Tên đăng ký được định nghĩa trong Hình 5. của thuật toán hệ thống tuyến tính lượng tử: một mồi (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) (được sao chép bên dưới):

• $S$ (1 qubit) là thanh ghi ancilla được sử dụng để kiểm tra xem đầu ra có hợp lệ hay không.
• $C$ ( qubit) là thanh ghi đồng hồ, tức là thanh ghi được sử dụng để ước tính giá trị riêng của hamiltonian với ước lượng pha lượng tử (QPE).$n$
• m A x = b x S | 1 $I$ ( qubit) là thanh ghi lưu trữ phía bên phải của phương trình . Nó lưu , kết quả của phương trình, khi được đo là ở cuối thuật toán.$m$$Ax = b$$x$$S$$\left|1\right>$

2. Giới thiệu về :$\left|\Psi_0\right>$

1. Chính xác thì gì?$\left|\Psi_0\right>$

   $\left|\Psi_0\right>$ là một trạng thái ban đầu có thể xảy ra đồng hồ đăng ký các .$C$

2. Gì và đứng cho?$T$$\tau$

   T | Ψ 0 ⟩ T | Ψ 0 ⟩ T 2 n$T$ là viết tắt của một số nguyên dương lớn. này phải càng lớn càng tốt vì biểu thức của giảm thiểu một cách không có triệu chứng một lỗi nhất định cho phát triển đến vô cùng. Trong sự biểu hiện của , sẽ là , số lượng các trạng thái có thể cho đồng hồ lượng tử .$T$$\left|\Psi_0\right>$$T$$\left|\Psi_0\right>$$T$$2^n$$C$

   $\tau$ chỉ là chỉ số tổng hợp

3. Tại sao một biểu thức khổng lồ như vậy cho ?$\left|\Psi_0\right>$

   Xem bài đăng của DaftWullie để được giải thích chi tiết.

   Theo các trích dẫn trong thuật toán lượng tử cho các hệ phương trình tuyến tính (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009 v3), chúng tôi kết thúc với:

   1. Phiên bản trước của cùng một thuật toán lượng tử giấy cho các hệ phương trình tuyến tính (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009 v2) . Các tác giả đã sửa đổi giấy 2 lần (có 3 phiên bản của giấy HHL gốc) và phiên bản n ° 3 không bao gồm tất cả các thông tin được cung cấp trong các phiên bản trước. Trong V2 (phần A.3. Bắt đầu từ trang 17), các tác giả cung cấp một phân tích chi tiết về lỗi với trạng thái ban đầu đặc biệt này.
   2. Đồng hồ lượng tử tối ưu (Buzek, Derka, Massar, 1998) trong đó biểu thức của được đưa ra là trong Công thức 10. Tôi không có kiến ​​thức về hiểu đầy đủ phần này, nhưng có vẻ như biểu thức này là "tối ưu" trong một số ý nghĩa.| Ψ o p t$\left|\Psi_0\right>$$\left|\Psi_{opt}\right>$

3. Chuẩn bị :$\left|\Psi_0\right>$

Như đã nói ở phần trước, là trạng thái ban đầu. Họ không chuẩn bị sau thủ tục ước tính pha. Thứ tự câu không thực sự tối ưu trong bài báo. Quy trình ước lượng pha mà họ sử dụng trong bài báo hơi khác một chút so với thuật toán ước lượng pha "cổ điển" được trình bày trong mạch lượng tử được liên kết trong phần 1, và đó là lý do tại sao họ giải thích chi tiết.| Ψ 0 $\left|\Psi_0\right>$$\left|\Psi_0\right>$

Thuật toán ước tính pha của chúng là:

1. Chuẩn bị nhà nước trong thanh ghi của .$\left|\Psi_0\right>$$C$
2. Áp dụng tiến hóa Hamilton có điều kiện cho các thanh ghi và (đang ở trạng thái ).I | Ψ 0 ⟩ ⊗ | b $C$$I$$\left|\Psi_0\right>\otimes \left|b\right>$
3. Áp dụng biến đổi Fourier lượng tử cho trạng thái kết quả.

Cuối cùng, chữ trong có nghĩa là trạng thái được lưu trữ trong thanh ghi của . Đây là một ký hiệu ngắn và thuận tiện để theo dõi các thanh ghi được sử dụng.| Ψ 0 ⟩ C | Ψ 0 ⟩$C$$\left| \Psi_0 \right>^C$$\left| \Psi_0 \right>$$C$

4. Mô phỏng Hamilton:

Trước hết, là số điều kiện ( Wikipedia trang trên "số điều kiện" ) của ma trận .$\kappa$$A$

$\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ là biểu diễn toán học của cổng lượng tử.

Phần đầu tiên trong tổng là phần điều khiển. Nó có nghĩa là hoạt động sẽ được kiểm soát bởi trạng thái của thanh ghi lượng tử đầu tiên (thanh ghi như số mũ cho chúng ta biết).$|\tau\rangle \langle \tau|^{C}$$C$

Phần thứ hai là cổng "mô phỏng Hamilton", tức là cổng lượng tử sẽ áp dụng ma trận đơn vị được đưa ra bởi cho thanh ghi thứ hai (thanh ghi ở trạng thái ban đầu ). tôi | b $e^{iA\tau t_0/T}$$I$$\left|b\right>$

Tổng số là biểu diễn toán học của phép toán U được kiểm soát trong mạch lượng tử của "1. Định nghĩa", với .$U = e^{iA\tau t_0/T}$

$\newcommand{\bra}[1]{\left\langle#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right\rangle}\newcommand{\proj}[1]{|#1\rangle\langle#1|}\newcommand{\half}{\frac12}$ Để trả lời câu hỏi đầu tiên của bạn, tôi đã viết cho mình một số lưu ý trước đây về sự hiểu biết của tôi về cách thức hoạt động của nó. Ký hiệu có thể hơi khác một chút (tôi đã cố gắng đưa nó vào dòng nhiều hơn, nhưng rất dễ bỏ sót bit), nhưng cố gắng giải thích sự lựa chọn đó của trạng thái . Dường như cũng có một số yếu tố của trôi nổi ở những nơi.$|\Psi_0\rangle$$\frac12$

Khi chúng tôi lần đầu tiên nghiên cứu ước tính pha, chúng tôi thường nghĩ về việc sử dụng nó trong một số thuật toán cụ thể, chẳng hạn như thuật toán của Shor. Điều này có một mục tiêu cụ thể: lấy xấp xỉ -bit tốt nhất cho giá trị riêng. Bạn có thể làm hoặc không, và mô tả ước lượng pha được điều chỉnh cụ thể để đưa ra xác suất thành công càng cao càng tốt.$t$

Trong HHL, chúng tôi đang cố gắng tạo ra một số trạng thái trong đó , sử dụng ước tính pha. Độ chính xác của xấp xỉ này sẽ phụ thuộc rất nhiều vào việc ước tính chính xác các giá trị riêng gần bằng 0 thay vì các giá trị khác xa 0. Do đó, một bước rõ ràng là cố gắng sửa đổi giao thức ước lượng pha sao cho đúng hơn hơn là sử dụng 'thùng' có chiều rộng cố định để xấp xỉ các pha của ( và là số lượng qubit trong thanh ghi ước tính pha), chúng ta có thể chỉ định một bộ cho

$$\ket{\phi}=\sum_j\frac{\beta_j}{\lambda_j}\ket{\lambda_j},$$ $\ket{b}=\sum_j\beta_j\ket{\lambda_j}$$2\pi/T$$e^{-iAt}$$T=2^t$$t$$\phi_y$$y\in\{0,1\}^t$ đóng vai trò là tâm của mỗi thùng để chúng ta có thể có độ chính xác tăng lên rất gần với 0 pha. Tổng quát hơn, bạn có thể chỉ định hàm đánh đổi cho mức độ chịu đựng lỗi của bạn như là một hàm của pha . Bản chất chính xác của chức năng này sau đó có thể được điều chỉnh theo một ứng dụng nhất định và con số cụ thể mà bạn sẽ sử dụng để xác định thành công. Trong trường hợp thuật toán của Shor, công đức của chúng tôi chỉ đơn giản là giao thức tạo thùng này - chúng tôi đã thành công nếu câu trả lời nằm trong thùng chính xác và không thành công bên ngoài nó. Đây không phải là trường hợp của HHL, người thành công được nắm bắt một cách hợp lý hơn bằng một biện pháp liên tục như độ trung thực. Vì vậy, trong trường hợp chung, chúng ta sẽ chỉ định hàm chi phí$\phi$$C(\phi,\phi')$trong đó chỉ định hình phạt cho câu trả lời nếu pha thực là .$\phi'$$\phi$

Hãy nhớ lại rằng giao thức ước lượng pha tiêu chuẩn hoạt động bằng cách tạo ra trạng thái đầu vào là chồng chập thống nhất của tất cả các trạng thái cơ bản cho . Trạng thái này được sử dụng để kiểm soát ứng dụng tuần tự của nhiều cổng điều khiển , được theo dõi bởi một biến đổi Fourier ngược. Hãy tưởng tượng chúng ta có thể thay thế trạng thái đầu vào bằng một số trạng thái khác và sau đó phần còn lại của giao thức có thể làm việc như trước Hiện tại, chúng tôi sẽ bỏ qua câu hỏi về việc tạo ra trạng thái mới khó như thế nào , vì chúng tôi chỉ đang cố gắng truyền đạt khái niệm cơ bản. Bắt đầu từ trạng thái này, việc sử dụng kiểm soát$\ket{x}$$x\in\{0,1\}^t$$U$

$$\ket{\Psi_0}=\sum_{x\in\{0,1\}^t}\alpha_x\ket{x},$$ $\ket{\Psi_0}$$U$các cổng (nhắm mục tiêu một hàm riêng của của eigenvalue ), tạo trạng thái Áp dụng biến đổi Fourier ngược mang lại Xác suất nhận được câu trả lời (tức là ) là nên giá trị mong đợi của hàm chi phí, giả sử phân phối ngẫu nhiên của , là $U$$\phi$ $$\sum_{x\in\{0,1\}^t}\alpha_xe^{i\phi x}\ket{x}.$$ $$\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{x,y\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{M}\right)}\alpha_x\ket{y}.$$ $y$$\phi'=2\pi y/T$ $$\frac{1}{T}\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{T}\right)}\alpha_x\right|^2$$ $\phi$ $$\bar C=\frac{1}{2\pi T}\int_0^{2\pi}d\phi\sum_{y\in\{0,1\}^t}\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{T}\right)}\alpha_x\right|^2C(\phi,2\pi y/T),$$ và nhiệm vụ của chúng tôi là chọn biên độ để giảm thiểu điều này cho bất kỳ nhận thức cụ thể nào về . Nếu chúng ta thực hiện giả định đơn giản hóa rằng chỉ là một hàm của , thì chúng ta có thể thực hiện thay đổi biến trong tích hợp để đưa ra như chúng tôi đã lưu ý, biện pháp hữu ích nhất có thể là biện pháp trung thực. Hãy xem xét chúng tôi có trạng thái$\alpha_x$$C(\phi,\phi')$$C(\phi,\phi')$$\phi-\phi'$ $$\bar C=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\phi}\alpha_x\right|^2C(\phi),$$ $\ket{+}$và chúng tôi muốn triển khai , nhưng thay vào đó, chúng tôi thực hiện . Độ trung thực đo lường mức độ này đạt được nhiệm vụ mong muốn, vì vậy chúng tôi lấy vì trong trường hợp lý tưởng , do đó, lỗi, đó là những gì chúng tôi muốn giảm thiểu, có thể được coi là . Đây chắc chắn sẽ là chức năng chính xác để đánh giá bất kỳ$U_\phi=\proj{0}+e^{i\phi}\proj{1}$$U_{\phi'}=\proj{0}+e^{i\phi'}\proj{1}$ $$F=\left|\bra{+}U_{\phi'}^\dagger U\ket{+}\right|^2=\cos^2\left(\frac{\phi-\phi'}{2}\right),$$ $$C(\phi-\phi')=\sin^2\left(\frac{\phi-\phi'}{2}\right),$$ $F=1$$1-F$$U^t$, nhưng đối với nhiệm vụ chung hơn là sửa đổi biên độ, không chỉ các pha, tác động của sự không chính xác lan truyền qua giao thức theo cách ít tầm thường hơn, nên rất khó để chứng minh tính tối ưu, mặc dù hàm sẽ cung cấp một số cải tiến so với sự chồng chất thống nhất của các quốc gia. Tiếp tục với biểu mẫu này, chúng tôi có tích phân trên bây giờ có thể được thực hiện, vì vậy chúng tôi muốn giảm thiểu chức năng Điều này có thể được thể hiện ngắn gọn như $C(\phi-\phi')$ $$\bar C=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\phi}\alpha_x\right|^2\sin^2\left(\half\phi\right),$$ $\phi$ $$\half\sum_{x,y=0}^{T-1}\alpha_x\alpha_y^\star(\delta_{x,y}-\half\delta_{x,y-1}-\half\delta_{x,y+1}).$$ $$\min\bra{\Psi_0}H\ket{\Psi_0}$$ trong đó Lựa chọn tối ưu của là hàm riêng tối thiểu của ma trận , và là giá trị riêng tối thiểu Điều quan trọng, đối với lớn , tỷ lệ là thay vì mà chúng ta sẽ có được từ lựa chọn khớp nối thống nhất $$H=\half\sum_{x,y=0}^{T-1}(\delta_{x,y}-\half\delta_{x,y-1}-\half\delta_{x,y+1})\ket{x}\bra{y}.$$ $\ket{\Psi_0}$$H$ $$\alpha_x=\sqrt{\frac{2}{T+1}}\sin\left(\frac{(x+1)\pi}{T+1}\right),$$ $\bar C$ $$\bar C=\half-\half\cos\left(\frac{\pi}{T+1}\right).$$ $T$$\bar C$$1/T^2$$1/T$$\alpha_x=1/\sqrt{T}$. Điều này mang lại một lợi ích đáng kể cho việc phân tích lỗi.

Nếu bạn muốn nhận cùng như được báo cáo trong bài viết HHL, tôi tin rằng bạn phải thêm các điều khoản cho người Hamilton. Tôi không có lý do gì để làm như vậy, tuy nhiên, đây có lẽ là thất bại của tôi.$|\Psi_0\rangle$$-\frac14\left(\ket{0}\bra{T-1}+\ket{T-1}\bra{0}\right)$