Có tương đương Clifford cục bộ có một đại diện đồ họa trực tiếp cho các trạng thái đồ thị qudit của kích thước không chính?

Câu hỏi này là phần tiếp theo của câu hỏi QCSE trước đây: " Các trạng thái biểu đồ qudit có được xác định rõ cho kích thước không chính không? ". Từ câu trả lời của câu hỏi, có vẻ như không có gì sai khi xác định trạng thái đồ thị bằng cách sử dụng các giá trị -chiều, tuy nhiên, dường như các khía cạnh xác định khác của trạng thái đồ thị không tương tự mở rộng sang chiều không chính.$d$

Cụ thể, đối với các trạng thái biểu đồ qubit, một khía cạnh quan trọng đối với mức độ phổ biến và sử dụng của chúng là thực tế: bất kỳ hai trạng thái biểu đồ nào đều tương đương với Clifford cục bộ khi và chỉ khi có một chuỗi bổ sung cục bộ lấy một biểu đồ khác (đơn giản, đồ thị vô hướng). Không cần phải nói, đây là một công cụ cực kỳ hữu ích trong việc phân tích sửa lỗi lượng tử, vướng víu và kiến ​​trúc mạng.

Khi xem xét trạng thái đồ thị -qudit, đồ thị tương đương hiện có trọng số với ma trận kề A ∈ Z n × n d , trong đó A i j là trọng số của cạnh ( i , j ) (với A i j = 0 chỉ ra không có cạnh nào tồn tại ). Trong trường hợp qudit, nó đã được thể hiện rằng LC tương đương tương tự có thể được kéo dài thêm sự tổng quát của bổ địa phương ( * một v ) và bao gồm của một hoạt động cạnh nhân ( ∘ b v$n$$A \in \mathbb{Z}_d^{n \times n}$$A_{ij}$$(i,j)$$A_{ij}=0$$\ast_a v$$\circ_b v$), Trong

$$\begin{align} \ast_a v &: A_{ij} \mapsto A_{ij} + aA_{vi}A_{vj} \quad \forall\;\; i,j \in N_G(v), \;i \neq j \\ \circ_b v &: A_{vi} \mapsto bA_{vi} \quad\forall\;\; i \in N_G(v), \end{align}$$ trong đó$a, b = 1, \ldots, d-1$và tất cả số học được thực hiện modulo$p$.

Về mặt đồ họa, điều này được thể hiện bằng các thao tác sau (được sao chép từ Tham khảo 2 ):

Tuy nhiên, nếu trạng thái biểu đồ được xác định trên các qudits có kích thước không phải là số nguyên tố, thì chúng ta có thể thấy các hoạt động này (dường như) không thể hiện tương đương LC.

$|G\rangle$$G$$d=4$$x=y=z=2$$A_{12}=A_{13}=A_{14}=2$$\circ_2 1$ , và do đó, qudit 1 được tách ra khỏi tất cả các qudits khác chỉ sử dụng các hoạt động cục bộ. Rõ ràng điều này là sai và xảy ra do vấn đề về số chia không như đã đề cập trong câutrả lờicủa các câu hỏi trước.$A_{1i} \mapsto 2 \times 2 = 4 \equiv 0 \bmod 4 \;\forall\; i$$1$

Câu hỏi của tôi là: có bất kỳ tập hợp các hoạt động biểu đồ nào thể hiện đúng mức tương đương Clifford cục bộ cho các trạng thái biểu đồ qudit của kích thước không chính?

Lưu ý: Tôi chủ yếu quan tâm đến các hoạt động áp dụng trực tiếp vào biểu diễn của một trạng thái dưới dạng một biểu đồ có trọng số duy nhất, thay vì có thể phân tách thành nhiều trạng thái biểu đồ nguyên tố, như được đề xuất trong Sec. 4.3 của "Các trạng thái đồ thị Qudit vướng víu cực kỳ ".

$\textrm{GF}(4) = \{0, 1, x, x^2\}$$x^2 = x + 1$$a$$\bar{a} = a^2$

Các bảng cộng, nhân và chia sau đó như sau:

$0 \equiv 0$$1 \equiv 1$$2 \equiv x$$3 \equiv x^2$$2 \times 2 = 3$