Có phải nhóm Pauli cho -qubits là cơ sở cho không?

Các nhóm Pauli cho -qubits được định nghĩa là , đó là như nhóm chứa tất cả các sản phẩm tensor có thể có giữa ma trận Pauli. Rõ ràng là các ma trận Pauli tạo thành một cơ sở cho các không gian vectơ ma trận phức , đó là . Ngoài ra, từ định nghĩa của sản phẩm tenor , người ta biết rằng nhóm Pauli -qubit sẽ tạo cơ sở cho không gian sản phẩm tenor .G n = { I , X , Y , Z } ⊗ n n 2 × 2 C 2 × 2 n ( C 2 × 2 ) ⊗ $n$$G_n=\{I,X,Y,Z \}^{\otimes n}$$n$$2\times 2$$\mathbb{C}^{2\times 2}$$n$$(\mathbb{C}^{2\times 2})^{\otimes n}$

Tôi tự hỏi nếu nhóm Pauli trong -qubits tạo thành cơ sở cho không gian vectơ phức tạp trong đó các phần tử của không gian sản phẩm tenor này hoạt động, đó là . Tóm tắt, câu hỏi sẽ là, đúng không?C 2 n × 2 n ( C 2 × 2 ) ⊗ n = C 2 n × 2 $n$$\mathbb{C}^{2^n\times 2^n}$$(\mathbb{C}^{2\times 2})^{\otimes n}=\mathbb{C}^{2^n\times 2^n}$

Tôi đã cố gắng chứng minh điều đó bằng cách sử dụng các đối số về kích thước của cả hai không gian, nhưng tôi chưa thể có được bất cứ điều gì.

Vâng, các thiết lập của tensor sản phẩm của tất cả các thể khai thác Pauli (kể cả ) tạo thành một cơ sở trực giao cho không gian vector của ma trận phức tạp. Vì vậy, hãy xem điều này trước tiên, chúng tôi nhận thấy rằng không gian có kích thước và chúng tôi cũng có các vectơ (các vectơ là toán tử trong trường hợp này). Vì vậy, chúng ta chỉ cần chứng minh rằng chúng độc lập tuyến tính.$n$$I$$2^n \times 2^n$$4^n$$4^n$

Chúng tôi thực sự có thể hiển thị một cái gì đó mạnh mẽ hơn. Có thể dễ dàng nhận thấy rằng các thành viên của nhóm Pauli là trực giao dưới sản phẩm bên trong Hilbert-Schmidt. Sản phẩm bên trong HS của hai ma trận được định nghĩa là . Chúng ta có thể dễ dàng xác minh từ định nghĩa rằng nhóm Pauli là một tập hợp trực giao lẫn nhau dưới sản phẩm bên trong này. Chúng ta chỉ cần sử dụng thuộc tính cơ bản . $Tr(AB^\dagger)$$Tr(C \otimes D) = Tr(C)Tr(D)$