Lợi thế của việc mô phỏng người Hamilton thưa thớt

Trong câu trả lời của @ DaftWullie cho câu hỏi này , ông đã chỉ ra cách thể hiện dưới dạng cổng lượng tử, ma trận được sử dụng làm ví dụ trong bài viết này . Tuy nhiên, tôi tin rằng khó có thể có ma trận có cấu trúc tốt như vậy trong các ví dụ thực tế, do đó tôi đã cố gắng xem xét các phương pháp khác để mô phỏng người Hamilton. Tôi đã tìm thấy trong một số bài viết một tài liệu tham khảo đến bài này của Aharonov và Ta-Shma, trong đó, trong số những điều khác, họ nói rằng có thể có một số lợi thế trong việc mô phỏng những người Hamilton thưa thớt . Tuy nhiên, sau khi đọc bài báo, tôi không hiểu làm thế nào mô phỏng các hamilton thưa thớt có thể được thực hiện. Vấn đề thường được trình bày dưới dạng một trong các màu đồ thị, tuy nhiên cũng nhìn vào bản trình bày mà @N006ee đề nghị đọc để nghiên cứu lũy thừa ma trận, tất cả điều này rơi vào quá trình im lặng thông qua công thức sản phẩm.

Để làm ví dụ, hãy lấy một ma trận ngẫu nhiên như:

Một = = [\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ số 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}];

$A = \left[\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}\right];$ đây không phải là ẩn sĩ, nhưng sử dụng gợi ý từ Harrow, Hassidim và Lloyd, chúng ta có thể xây dựng một ma trận ẩn sĩ bắt đầu từ nó:

C = = [\begin{matrix} 0 & Một \\ {Một}^{†} & 0 \end{matrix}] = = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & số 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4 \\ 2 & số 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] .

$C = \left[ \begin{matrix} 0 & A\\ A^{\dagger} & 0 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4\\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right].$

Bây giờ tôi có một ma trận ẩn sĩ 8 x 8, thưa thớt:

Tôi có thể mô phỏng sự tiến hóa của nó theo những cách khác ngoài phương pháp công thức sản phẩm không?
Ngay cả khi tôi sử dụng công thức sản phẩm, làm thế nào để tôi khai thác thực tế là nó thưa thớt? Có phải chỉ vì có ít mục nhập khác không và do đó sẽ dễ dàng tìm thấy sản phẩm của các cổng cơ bản?

algorithm matrix-representation hamiltonian-simulation

— FSic
nguồn

Sự thấu hiểu gợi ý rằng ma trận thưa thớt có ích đi dọc theo dòng: đối với bất kỳ , chúng ta có thể phân hủy nó trong điều kiện của một tập hợp các có thành phần chủ đi làm (làm diagonalisation đơn giản) cá nhân, Nếu ma trận thưa thớt, thì bạn không cần quá nhiều khác biệt . Sau đó, bạn có thể mô phỏng sự tiến hóa Hamiltonian $H$ $H_i$

H = = Σ_{Tôi = = 1}^{m} H_{Tôi} .

$H=\sum_{i=1}^mH_i.$

H_{i}

$H_i$

nơi

. Ví dụ: trong trường hợp của bạn, bạn có thể có

e^{- Tôi H t} = = Π_{j = = 1}^{N} e^{- Tôi H_{m} δ t} e^{- Tôi H_{m - 1} δ t} Giáo dục e^{- Tôi H_{1} δ t},

$e^{-iHt}=\prod_{j=1}^Ne^{-iH_m\delta t}e^{-iH_{m-1}\delta t}\ldots e^{-iH_{1}\delta t},$

t = N δ t

$t=N\delta t$

(3 điều kiện tương ứng với thực tế rằng đó là một Hamiltonian 3 thưa thớt). Tôi tin rằng có một chiến lược ở đây: bạn đi qua tất cả các yếu tố ma trận khác không của Hamilton và nhóm chúng để nếu tôi viết tọa độ của chúng là

(và tôi luôn bao gồm cặp liên hợp phức tạp của chúng), tôi tiếp tục thêm các phần tử khác cho tập hợp của tôi

không cung cấp

hay

bằng

H_{1} = = \frac{1}{4} X \otimes (18 Tôi - 6 Z \otimes Z - 4 Z \otimes Tôi) H_{2} = = \frac{1}{4} (X \otimes (11 Tôi + 5 Z) \otimes X + Y \otimes (11 Tôi + 5 Z) \otimes Y) H_{3} = = \frac{1}{4} (11 X \otimes X - Y \otimes Y) \otimes (Tôi - Z)

$H_1=\frac14 X\otimes(18\mathbb{I}-6Z\otimes Z-4Z\otimes\mathbb{I}) \\ H_2=\frac14(X\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes X+Y\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes Y)\\ H_3=\frac14(11X\otimes X-Y\otimes Y)\otimes(\mathbb{I}-Z)$

(i, j)

$(i,j)$

(k, l)

$(k,l)$

k

$k$

l

$l$

i

$i$ hoặc

.. Điều này có nghĩa là đối với một Hamiltonian

thưa, bạn có

khác nhau .

j

$j$

m

$m$

m

$m$

H_{i}

$H_i$

Vấn đề là điều này không nhất thiết phải làm việc này một cách đơn giản trong thực tế. Đối với một điều, vẫn còn nhiều yếu tố ma trận mà bạn phải trải qua, nhưng đó luôn luôn là trường hợp với cách bạn thiết lập nó.

$f(j,l)$ $l^{th}$ $j^{th}$

$\alpha_i$

H = = \underset{Tôi}{Σ} α_{Tôi} {Bạn}_{Tôi}

$H=\sum_i\alpha_iU_i$

H = U_{1} + α U_{2}

$H=U_1+\alpha U_2$

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

V = | 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes U_{1} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes U_{2}

$V=|0\rangle\langle 0|\otimes U_1+|1\rangle\langle 1|\otimes U_2$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$

V

$V$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$

U_{1} + α U_{2}

$U_1+\alpha U_2$

(1 - α)^{2} / (1 + α)^{2}

$(1-\alpha)^2/(1+\alpha)^2$

— DaftWullie
nguồn

Chỉ có 2 điều mà tôi không hiểu: 1) Ý bạn là gì khi bạn nói rằng bạn luôn bao gồm các cặp liên hợp phức tạp? 2) Kiến thức về vị trí được cung cấp bởi nhà tiên tri sẽ giúp chúng ta theo cách nào? Bằng cách giúp chúng tôi xác định tập hợp các thể chế đại diện cho Hamilton bị phân hủy?

— FSic

@ F.Siciliano (2) Kiến thức từ nhà tiên tri giúp vì nó cho phép bạn làm việc thông qua các phần tử khác không của ma trận thay vì phải đi qua mọi phần tử của ma trận để tìm ra phần tử nào khác không.

— DaftWullie

H

$H$

h_{i j}

$h_{ij}$

(j, i)

$(j,i)$

h_{i j}^{*}

$h_{ij}^*$

h_{i}

$h_i$