Thuật toán đơn giản nhất để chứng minh bằng trực giác tăng tốc lượng tử?

Thuật toán đơn giản nhất (như thuật toán của Đức và Thuật toán Grover ) để thể hiện trực giác tăng tốc lượng tử là gì? Và thuật toán này có thể được giải thích bằng trực giác?

Lý tưởng nhất điều này cũng sẽ minh họa rõ ràng cách sử dụng giao thoa lượng tử và tại sao không thể hoặc không hữu ích khi chỉ sử dụng nhiễu của sóng cổ điển .

Tôi muốn đề xuất rằng việc tìm thời gian (một chương trình con, nếu bạn thích, của thuật toán Shor nổi tiếng) thể hiện một sự tăng tốc theo cấp số nhân rất trực quan: Cần phải rõ ràng một cái gì đó theo thứ tự (căn bậc hai của sự không chắc chắn $\Delta p$ ) của giai đoạn $p$ của các đánh giá chức năng được yêu cầu một cách cổ điển để tìm một khoảng thời gian $p$ chưa biết của một hàm được đảm bảo định kỳ trong giá trị đầu vào số nguyên của nó. Tôi đã cố tình đặt phép so sánh sao cho nội dung của chúng sẽ trực quan với những người đã ăn sâu vào nghịch lý sinh nhật, vì đã chứng minh một sự tăng tốc siêu đa thức, đủ để hiểu một cách trực giác rằng nó ở đâu đó gần $\Delta p$ , câu trả lời đúng$\sqrt{\Delta p}$ , hoặc một số đa thức của chúng và không phải là số chữ số của$p$,$O(\log p)$.

Thuật toán lượng tử để tìm thời gian, như được sử dụng bởi thuật toán của Shor, chỉ đơn giản là sử dụng biến đổi Fourier lượng tử của hàm tuần hoàn được áp dụng cho sự chồng chất bằng nhau của tất cả các trạng thái. Đương nhiên, chỉ bội số nguyên của khoảng thời gian sau đó có thể có biên độ xác suất khác không, do đó, làm điều này (thường) hai lần sẽ cho phép bạn nhanh chóng trích xuất nhân tố chung thành mẫu số chung lớn nhất. Nhưng một biến đổi Fourier lượng tử có thể thực hiện được bằng các phép quay có kiểm soát $O(\log p)$ (một trên mỗi bit đầu vào).

Việc tăng tốc trực quan lớn nhất rõ ràng xảy ra nếu bạn thực hiện đánh giá hàm rất tốn kém: Thuật toán lượng tử chỉ yêu cầu đánh giá không đổi (đơn)! Nhưng ngay cả nếu không bạn có được một lợi là bạn có một thuật toán mà chạy, giả sử đánh giá chức năng là thời gian liên tục, trong $O(\log p)$ hơn là trong $O(\sqrt{\Delta p})$mà, nếu bạn không có ý tưởng về khoảng thời gian đúng$p$chủ yếu là$O(\sqrt{p})$.

Khó khăn với câu hỏi là từ trực quan . Trực giác về cơ bản phản ánh sự hiểu biết của chúng ta về thế giới xung quanh chúng ta, được mô tả bằng vật lý cổ điển. Cơ học lượng tử chính xác là chế độ nơi trực giác của chúng ta bị phá vỡ bởi vì nó hoạt động rất khác với thế giới của trải nghiệm hàng ngày của chúng ta. Như Terry Pratchett đã nói:

Rất khó để nói chuyện lượng tử bằng một ngôn ngữ được thiết kế ban đầu để nói với những con khỉ khác nơi quả chín.

Đó chính xác là sự khác biệt mà chúng tôi đang sử dụng để tăng tốc tính toán.

Có một chuỗi các thuật toán tiêu chuẩn mà các văn bản máy tính lượng tử nhất tiến bộ thông qua: Thuật toán Deutsch của, Deutsch-Jozsa , Simon / Bernstein-Vazirani. Chúng được chọn vì chúng dễ hiểu nhất. Tất cả chúng đều có cùng cấu trúc, nhưng tăng độ phức tạp, với mức tăng tương ứng về tốc độ tính toán (với việc Simon tăng tốc theo cấp số nhân). Bạn sẽ không hiểu chúng bằng trực giác. Bạn phải làm toán. Tôi nghĩ rằng gần nhất mà bạn sẽ đến là thông qua giải thích sau đây về thuật toán của Đức:

$f(x)$$f(0)=f(1)$$f(0)$$f(1)$$f(0)\oplus f(1)$

Có một ví dụ hay trong bài giảng của Microsoft . Giả sử bạn có một hộp đen cổ điển với 1 đầu vào và 1 đầu ra. Có bao nhiêu truy vấn bạn cần để xác định xem đầu ra là hằng số hay biến? Rõ ràng bạn cần 2 truy vấn; đầu tiên bạn nhập 0, thứ hai bạn nhập 1; nếu cả hai đầu ra giống hệt nhau, bạn có hằng số, nếu không thì biến. Nó chỉ ra rằng sau khi bạn chuyển đổi hộp đen cổ điển thành hộp đen lượng tử, bạn có thể xây dựng một mạch chỉ cần một truy vấn duy nhất (bài giảng giải thích cách thực hiện).