Có một quy tắc đơn giản nào cho nghịch đảo của bảng ổn định của mạch Clifford không?

Trong Aaronson và Gottesman, mô phỏng mạch ổn định được cải tiến , người ta đã giải thích cách tính một bảng mô tả các sản phẩm tenxơ Pauli mà X và Z có thể quan sát được của mỗi qubit được ánh xạ như một mạch Clifford hoạt động theo chúng.

Dưới đây là một ví dụ về mạch Clifford:

0: -------@-----------X---
          |           |
1: ---@---|---@---@---@---
      |   |   |   |
2: ---|---|---@---|-------
      |   |       |
3: ---@---@-------Y-------

Và bảng mô tả cách thức hoạt động của nó trên các vật quan sát X và Z của từng qubit:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   X_   __   Z_   |
| 1    | ZZ   YZ   Z_   ZZ   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   X_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   ++   ++   ++  |
+------+---------------------+-

Mỗi cột của bảng mô tả cách thức hoạt động của mạch trên X có thể quan sát được (nửa bên trái của cột) và Z có thể quan sát được (nửa bên phải của cột) của mỗi qubit. Ví dụ, phía bên trái của cột 3 là Z, Z, _, X có nghĩa là một hoạt động X3 (Pauli X trên qubit 3) ở phía bên phải của mạch tương đương với hoạt động Z1 * Z2 * X4 ở bên trái bên của mạch. Hàng 'dấu hiệu' biểu thị dấu hiệu của sản phẩm, điều này rất quan trọng nếu bạn định mô phỏng một phép đo (nó cho bạn biết có nên đảo ngược kết quả hay không).

Bạn cũng có thể tính toán bảng cho nghịch đảo của một mạch. Trong trường hợp ví dụ tôi đã đưa ra, bảng nghịch đảo là:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   Y_   __   Z_   |
| 1    | _Z   YZ   Z_   _Z   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   Y_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   -+   ++   ++  |
+------+---------------------+-

Các bảng trông gần giống nhau nếu bạn hoán chuyển các hàng và cột của chúng. Nhưng các mục không giống hệt nhau. Ngoài việc hoán vị, bạn phải mã hóa các chữ cái thành các bit ( _= 00, X= 01, Z= 10, Y= 11) sau đó hoán đổi các bit giữa sau đó giải mã. Ví dụ, ZZ mã hóa thành 1010, đổi thành 1100, giải mã thành Y_.

Câu hỏi tôi có là: đó cũng là một quy tắc đơn giản để tính toán các dấu hiệu của bảng nghịch đảo?

Hiện tại tôi đang đảo ngược các bảng này bằng cách phân tách chúng thành các mạch, đảo ngược các mạch, sau đó nhân chúng lại với nhau. Nó cực kỳ kém hiệu quả so với transpose + thay thế, nhưng nếu tôi sẽ sử dụng transpose + thay thế thì tôi cần một quy tắc ký hiệu.

pauli-gates clifford-group

— Craig Gidney
nguồn

Để làm rõ câu hỏi: Hãy để cho mạch Clifford được

. Sau đó đọc

'th cột cho

và

tùy thuộc vào trái hoặc nửa bên phải sử dụng. Và bạn muốn

và

thay vì từ dữ liệu này.

U

$U$

j

$j$

U X_{j} U^{†}

$U X_j U^\dagger$

U Z_{j} U^{†}

$U Z_j U^\dagger$

U^{†} X_{j} U

$U^\dagger X_j U$

U^{†} Z_{j} U

$U^\dagger Z_j U$

— AHusain

@AHusain Đúng.

— Craig Gidney

Để làm rõ câu hỏi: ý nghĩa của @ trong mạch Clifford của bạn là gì?

— Josu Etxezarreta Martinez

@JosuEtxezarretaMartinez Đó là những điều khiển. Khi hai cái được kết nối, đó là một cổng CZ. @ được kết nối với X là một X được kiểm soát. @ kết nối với Y là một Y được kiểm soát.

— Craig Gidney

Câu trả lời:

Có một đại diện rất liên quan đến đại diện tableau của Aaronson (và Gottesman) , hoạt động không chỉ cho các qubit mà còn cho các qudits của kích thước hữu hạn tùy ý, hoạt động đặc biệt tốt cho các mạch Clifford thuần túy ( nghĩa là nhiều nhất là một phép đo đầu cuối).

Trong biểu diễn thay thế này, người ta có các tableaus mô tả cách các toán tử X và Z đơn qubit biến đổi, với thông tin pha, như trong biểu diễn thông thường. Các cột mô tả các toán tử Weyl đa qubit cụ thể, là một tập hợp con đặc biệt của các toán tử Pauli. Ưu điểm của việc này là tableau không chỉ là một mảng các hệ số, mà là một toán tử tuyến tính thực tế trên các vectơ đại diện cho các toán tử và pha của Weyl.

Có một cái bẫy nhỏ. Đối với các qubit, các vectơ này có các hệ số là số nguyên modulo 4 (tương ứng với một vỏ kép của các toán tử Pauli qubit đơn lẻ không tầm thường của các toán tử Weyl), thay vì modulo 2. Tôi nghĩ rằng đây là một mức giá nhỏ phải trả - mặc dù tôi có thể hơi thiên vị, vì đó là kết quả của riêng tôi [ arXiv: 1102.3354 ]. Tuy nhiên, nó dường như là một đại diện 'tự nhiên': Appleby đã phát triển trường hợp đặc biệt một qubit hoặc qudit trước đó một chút [ arXiv: quant-ph / 0412001 ] (điều mà tôi thực sự muốn biết trước khi trải qua hai năm không cần thiết phải tạo lại về cơ bản các quy ước tương tự).

Sử dụng một biểu diễn như vậy, bởi đức hạnh của một thực tế là 'hoạt cảnh' $M_C$ của một Clifford mạch $C$ hiện nay là một ma trận thực tế (và là một nghịch) mà biến đổi vectơ, các hoạt cảnh cho mạch nghịch đảo $C^{\dagger}$ là sau đó nghịch đảo $M_C^{-1}$ của tableau. Vì vậy, đối với biểu diễn liên quan chặt chẽ này ít nhất, quy tắc tính toán tableau cho mạch nghịch đảo là dễ dàng.

— Niel de Beaudrap
nguồn

Bạn có thể liên kết đến các slide hoặc ghi chú bài giảng mô tả các toán tử Weyl không?

— Craig Gidney

Đây có phải là bất kỳ cách nào liên quan đến việc thay thế "cơ sở Pauli" {I, X, Y, Z} bằng "cơ sở tứ phương" {I, iX, iY, iZ} khi theo dõi các vectơ sản phẩm không?

— Craig Gidney

Có lẽ khi nói về qubit, giấy ban đầu là này một

— DaftWullie

W_{a, b} = i^{- (a \codt b)} Z_{a} X_{b}

$W_{\mathbf a,\mathbf b}=i^{-(\mathbf a\codt\mathbf b)}Z_{\mathbf a}X_{\mathbf b}$

a, b \in Z_{4}^{n}

$\mathbf a,\mathbf b\in\mathbb Z^n_4$

— Niel de Beaudrap

@DaftWullie: Không, [arXiv: quant-ph / 9608006 ] hoàn toàn khác nhau. Chúng lập chỉ mục sức mạnh của X và Z theo vectơ mod 2 (xem văn bản trước Eq.2), được phản ánh trong cấu trúc nhóm phụ gia của GF (4). Những quan sát của họ về các phép biến đổi đối xứng trên p.8 do đó áp dụng cho các giai đoạn modulo của nhóm Pauli. Appleby và tôi không tuyên bố là người đầu tiên có một đại diện lạ mắt cho nhóm Pauli trên các qubit: điểm quan trọng là đại diện của chúng tôi theo dõi các giai đoạn một cách duyên dáng hơn. Điều đó ít quan trọng hơn để khám phá các QECC, nhưng rất quan trọng để mô phỏng các trạng thái.

— Niel de Beaudrap

$2N$ $N$ $N$ $N$ $X$ $X_1Z_2$ $N=2$ $8\times 8$

M = = (\begin{array}{cc} Một & B \\ C & D \end{array}),

$M=\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right),$ nơi mỗi người trong số các khối là

N \times N

$N\times N$ . Thực tế là các chất ổn định đi lại, chúng ta biết rằng

(\begin{array}{cc} Một & B \\ C & D \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 0 & Tôi \\ Tôi & 0 \end{array}) \cdot {(\begin{array}{cc} Một & B \\ C & D \end{array})}^{T} \equiv 0 mod 2

$\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc} 0 & \mathbb{I} \\ \mathbb{I} & 0 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)^T\equiv 0\text{ mod }2$

M

$M$

(\begin{array}{cc} D^{T} & B^{T} \\ C^{T} & {Một}^{T} \end{array})

$\left(\begin{array}{cc} D^T & B^T \\ C^T & A^T \end{array}\right)$

2 \times 2

$2\times 2$

Sự lộn xộn, tất nhiên, đến từ việc theo dõi các giai đoạn. Tôi đoán các dấu hiệu sẽ liên quan đến sự thay đổi số lượng toán tử Y trong mỗi bộ ổn định, nhưng tôi đã không thành công trong một điều trị thống nhất. Câu trả lời của Niel có thể làm tốt hơn việc chăm sóc nó tự động.

— DaftWullie
nguồn