Tại sao không thể có một mã sửa lỗi với ít hơn 5 qubit?

Tôi đã đọc về mã sửa lỗi 9 qubit, 7 qubit và 5 qubit gần đây. Nhưng tại sao không thể có một mã sửa lỗi lượng tử với ít hơn 5 qubit?

Một bằng chứng cho thấy bạn cần ít nhất 5 qubit (hoặc qudits)

Dưới đây là một bằng chứng cho thấy bất kỳ mã sửa lỗi lượng tử ( ví dụ khoảng cách 3) bất kỳ mã sửa lỗi lượng tử nào đều có ít nhất 5 qubit. Trong thực tế, điều này khái quát đến các qudits của bất kỳ thứ nguyên $d$ nào và bất kỳ mã sửa lỗi lượng tử nào bảo vệ một hoặc nhiều qud của kích thước $d$ .

(Như Felix Huber lưu ý , bằng chứng ban đầu mà bạn yêu cầu ít nhất 5 qubit là do bài báo Knill - Laflamme [ arXiv: quant-ph / 9604034 ] đưa ra các điều kiện Knill - Laflamme: sau đây là kỹ thuật chứng minh ngày nay được sử dụng phổ biến hơn.)

Bất kỳ lỗi lượng tử chỉnh mã này có thể sửa $t$ lỗi không rõ, cũng có thể sửa chữa lên đến $2t$ lỗi tẩy xoá (nơi chúng tôi chỉ đơn giản là mất một số qubit, hoặc nó trở nên hoàn toàn depolarised, hoặc tương tự), nếu các địa điểm của các qubit xoá hoàn toàn được biết đến. [1, giây. III A] *. Nói chung, một lỗi sửa lỗi lượng tử của khoảng cách $d$ có thể chịu được các lỗi xóa $d-1$ . Ví dụ: trong khi $[\![4,2,2]\!]$ Mã không thể sửa bất kỳ lỗi nào cả, trong bản chất vì nó có thể cho một lỗi đã xảy ra (và thậm chí có loại lỗi) nhưng không rõ qubit nó đã xảy ra với, cùng mã có thể bảo vệ chống lại một lỗi tẩy xoá duy nhất (vì theo giả thuyết, chúng tôi biết chính xác lỗi xảy ra ở đâu trong trường hợp này).

Theo sau, bất kỳ mã sửa lỗi lượng tử nào có thể chịu được một lỗi Pauli, đều có thể phục hồi sau khi mất hai qubit. Bây giờ: giả sử bạn có mã sửa lỗi lượng tử trên $n \geqslant 2$ qubit, mã hóa một qubit chống lại các lỗi đơn qubit. Giả sử rằng bạn cung cấp $n-2$ qubit cho Alice và $2$ qubit cho Bob: thì Alice sẽ có thể khôi phục trạng thái được mã hóa ban đầu. Nếu $n<5$ , thì $2 \geqslant n-2$ , do đó Bob cũng nên có thể phục hồi trạng thái mã hóa gốc - do đó có được một bản sao của nhà nước của Alice. Vì điều này được loại trừ bởi Định lý Không nhân bản, theo sau chúng ta phải có $n \geqslant 5$ thay thế.

Sửa lỗi xóa

* Tài liệu tham khảo sớm nhất tôi tìm thấy cho điều này là

[1] Grassl, Beth và Pellizzari.
      Mã cho kênh xóa lượng tử .
      Vật lý. Mục sư 56 (trang 33 Hàng38), 1997.
      [ arXiv: quant-ph / 9610042 ]

- không lâu sau khi các điều kiện Knill giác Laflamme được mô tả trong [ arXiv: quant-ph / 9604034 ] và do đó, bằng chứng xác thực về mối liên hệ giữa khoảng cách mã và lỗi xóa. Phác thảo như sau và áp dụng cho các mã sửa lỗi khoảng cách $d$ (và áp dụng tốt như nhau đối với các quẻ của bất kỳ kích thước nào thay cho các qubit, sử dụng các toán tử Pauli tổng quát).

• Việc mất $d-1$ qubit có thể được mô hình hóa bởi những qubit đó thuộc kênh khử cực hoàn toàn, do đó có thể được mô hình hóa bởi những qubit đó bị lỗi Pauli ngẫu nhiên thống nhất.

• Nếu vị trí của các $d-1$ qubit chưa từng xảy ra, điều này sẽ dẫn đến tử vong. Tuy nhiên, như đã biết vị trí của chúng, bất kỳ cặp Pauli nào cũng bị lỗi trên $d-1$ qubit có thể được phân biệt với nhau, bằng cách kháng cáo các điều kiện Knill-Laflamme.

• Do đó, bằng cách thay thế các qubit bị xóa bằng các qubit ở trạng thái hỗn hợp tối đa và kiểm tra các lỗi Pauli trên các đặc điểm $d-1$ qubit đó (yêu cầu một quy trình sửa lỗi khác với cách bạn sử dụng để sửa các lỗi Pauli tùy ý, bạn có thể khôi phục trạng thái ban đầu.

Những gì chúng ta có thể dễ dàng chứng minh là không có thoái hóa nhỏ hơn mã .

Trong một mã không suy biến, bạn phải có 2 trạng thái logic của qubit và bạn phải có một trạng thái riêng biệt cho từng lỗi có thể để ánh xạ từng trạng thái logic vào. Vì vậy, giả sử bạn có mã 5 qubit, với hai trạng thái logic $|0_L\rangle$ và $|1_L\rangle$ . Tập hợp các lỗi đơn qubit có thể là $X_1,X_2,\ldots X_5,Y_1,Y_2,\ldots,Y_5,Z_1,Z_2,\ldots,Z_5$và nó có nghĩa là tất cả các tiểu bang

$$|0_L\rangle,|1_L\rangle,X_1|0_L\rangle,X_1|1_L\rangle,X_2|0_L\rangle,\ldots$$ phải ánh xạ tới các quốc gia trực giao.

Nếu chúng ta áp dụng đối số này nói chung, nó cho chúng ta thấy rằng chúng ta cần các trạng thái riêng biệt

$$2+2\times(3n)$$ . Nhưng, đối với $n$ qubit, số lượng trạng thái riêng biệt tối đa là $2^n$ . Vì vậy, đối với một lỗi không suy biến mã chính xác của khoảng cách 3 (nghĩa là sửa ít nhất một lỗi) hoặc lớn hơn, chúng ta cần $$2^n\geq 2(3n+1).$$ Đây được gọi là Giới hạn lượng tử Hamming. Bạn có thể dễ dàng kiểm tra xem điều này có đúng với mọi $n\geq 5$ , nhưng không nếu $n<5$. Thật vậy, với $n=5$ , bất đẳng thức là một đẳng thức và chúng tôi gọi mã 5 qubit tương ứng là mã hoàn hảo.

Để bổ sung cho câu trả lời khác, tôi sẽ thêm Hamming lượng tử chung bị ràng buộc cho các mã sửa lỗi không suy biến lượng tử. Việc xây dựng toán học như vậy ràng buộc là

$$\begin{equation} 2^{n-k}\geq\sum_{j=0}^t\pmatrix{n\\j}3^j, \end{equation}$$ nơi $n$ là số qubit đã hình thành từ mã, $k$ là số qubit thông tin được mã hóa (vì vậy họ được bảo vệ khỏi sự trang trí) và $t$ là số lỗi $t$ -qubit được sửa bởi mã. Vì $t$ liên quan đến khoảng cách bởi $t = \lfloor\frac{d-1}{2}\rfloor$, mã lượng tử phi thoái hóa sau đó như vậy sẽ là một$[[n,k,d]]$lỗi lượng tử mã sửa. Ràng buộc này thu được bằng cách sử dụng một hình cầu-đóng gói như lập luận, do đó$2^n$chiều không gian Hilbert được phân chia thành$2^{n-k}$mỗi không gian được phân biệt bởi hội chứng được đo và do đó, một lỗi được gán cho từng hội chứng và thao tác phục hồi được thực hiện bằng cách đảo ngược lỗi liên quan đến hội chứng được đo như vậy. Đó là lý do tại sao số lượng lỗi tổng được sửa bởi mã lượng tử không suy biến phải nhỏ hơn hoặc bằng số lượng phân vùng bằng phép đo hội chứng.

Tuy nhiên, suy biến là một thuộc tính của các mã sửa lỗi lượng tử ngụ ý thực tế là có các lớp tương đương giữa các lỗi có thể ảnh hưởng đến các từ mã được gửi. Điều này có nghĩa là có những lỗi mà ảnh hưởng của chúng đối với các từ mã được truyền là giống nhau trong khi chia sẻ cùng một hội chứng. Điều này ngụ ý rằng các lớp lỗi thoái hóa đó được sửa chữa thông qua cùng một hoạt động khôi phục và do đó, nhiều lỗi hơn dự kiến ​​có thể được sửa chữa. Đó là lý do tại sao người ta không biết liệu ràng buộc Hamming lượng tử giữ cho mã sửa lỗi suy biến này, vì nhiều lỗi hơn các phân vùng có thể được sửa theo cách này. Vui lòng tham khảo câu hỏi này để biết một số thông tin về việc vi phạm ràng buộc lượng tử Hamming.

Tôi muốn thêm một bình luận ngắn để tham khảo sớm nhất. Tôi tin rằng điều này đã được thể hiện sớm hơn một chút trong Phần 5.2 của

A Theory of Quantum Error-Correcting Codes
Emanuel Knill, Raymond Laflamme 
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9604034

trong đó kết quả cụ thể là:

Định lý 5.1. Một $(2^r,k)$ $e$ -lỗi-chỉnh mã lượng tử phải đáp ứng $r \geqslant 4e + \lceil \log k \rceil$ .

Ở đây, mã $(N,K)$ là việc nhúng một không gian con $K$ -chiều vào hệ thống $N$ -chiều; nó là mã sửa lỗi $e$ nếu hệ thống phân rã thành sản phẩm tenxit của qubit và mã có khả năng sửa các lỗi về trọng số $e$ . Cụ thể, mã sửa lỗi điện tử $(2^n, 2^k)$ là cái mà bây giờ chúng ta sẽ mô tả như là một [$e$$[\![n,k,2e\:\!{+}1]\!]$$k \geqslant 1$$d \geqslant 3$$[\![n,k,d]\!]$

$$\begin{aligned} n \;&\geqslant\; 4\bigl\lceil\tfrac{d-1}{2}\bigr\rceil + \lceil \log 2^k \rceil \\[1ex]&\geqslant\; \bigl\lceil 4 \cdot \tfrac{d-1}{2} \bigr\rceil + \lceil k \rceil \\[1ex]&=\; 2d - 2 + k \;\geqslant\; 6 - 2 + 1 \;=\; 5. \end{aligned}$$

(N.B. There is a peculiarity with the dates here: the arxiv submission of above paper is April 1996, a couple of months earlier than Grassl, Beth, and Pellizzari paper submitted in Oct 1996. However, the date below the title in the pdf states a year earlier, April 1995.)

As an alternative proof, I could imagine (but haven't tested yet) that simply solving for a weight distribution that satisfies the Mac-Williams Identities should also suffice. Such a strategy is indeed used

Quantum MacWilliams Identities
Peter Shor, Raymond Laflamme
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9610040

to show that no degenerate code on five qubits exists that can correct any single errors.