Tại sao biến đổi Fourier lượng tử được yêu cầu trong thuật toán của Shor?

Tôi hiện đang nghiên cứu thuật toán của Shor và bối rối về vấn đề phức tạp. Từ những gì tôi đã đọc, thuật toán của Shor làm giảm vấn đề nhân tố hóa thành vấn đề tìm thứ tự hoặc thời gian của chuỗi lũy thừa mô-đun của một số $x$ ngẫu nhiên sao cho $1 < x < N$ .

Tôi không có vấn đề liên quan đến ý tưởng của thuật toán. Nhưng tôi tự hỏi liệu thuật toán của Shor có tạo ra một chuỗi như vậy bằng cách lặp lại bình phương (đó là một cách hiệu quả theo cách cổ điển). Theo hiểu biết của tôi, thuật ngữ "hiệu quả" có nghĩa là sự phức tạp của thuật toán là đa thức theo thời gian.

Cho rằng có một cách hiệu quả để tạo chuỗi theo cách cổ điển, chúng ta có thể không chỉ thêm một chút kiểm tra xem chúng ta có gặp $x^{r} = 1 \ \text{mod} N$ không? Trong quá trình tạo, nó không nên tăng độ phức tạp theo thời gian theo cấp số nhân, phải không?

Tại sao phải bận tâm với biến đổi Fourier lượng tử ở tất cả? Tôi đã hiểu nhầm nó theo một cách nào đó?

$a^k\text{ mod }N$

$a\text{ mod }N$$a^2\text{ mod }N$$a^3\text{ mod }N$$r$$r$$O(N)$

Khi so sánh, thuật toán lượng tử chỉ đánh giá thứ tự một lần . Sau đó, bạn cần Chuyển đổi lượng tử Fourier để có thể so sánh tất cả các giá trị được tính toán đồng thời vì bạn không thể truy cập tất cả các giá trị này cùng một lúc. QFT là những gì làm tất cả các phép thuật.

$x^{r} = 1 \ \text{mod} N$

Tại sao phải bận tâm với biến đổi Fourier lượng tử ở tất cả? Tôi đã hiểu nhầm nó theo một cách nào đó?

$x = 2^r_{1} \ \text{mod} N$

Biến đổi Fourier rời rạc cổ điển có độ phức tạp theo cấp số nhân - tuy nhiên, phiên bản lượng tử của biến đổi Fourier đó có độ phức tạp đa thức. Vì vậy, chúng ta cần phải bận tâm với biến đổi Fourier lượng tử.